Seja a um número inteiro qualquer. Mostre que exatamente um número de cada terna dada é divisível por 3
Passo 1
Resumo do enunciado: temos três números em progressão aritmética, a saber
,
e
, e queremos mostrar que exatamente um deles é divisível por 3. O conteúdo aqui é análise de restos em aritmética modular, mais especificamente congruências módulo 3.
Passo 2
Primeiro, notamos que
e
. Isso vai nos ajudar a expressar os três números em termos de um mesmo resto.
Passo 3
Chamemos
o resto de
na divisão por 3, ou seja,
com
. Então
Passo 4
Como estamos trabalhando módulo 3, os valores
(tomados módulo 3) são exatamente as três classes
. Assim, entre esses três restos há exatamente um que é zero.
Passo 5
Se o resto é zero, o número correspondente é divisível por 3. Logo, exatamente um dos números
,
ou
é múltiplo de 3.
Resposta
Exatamente um dos números
,
e
é divisível por 3.