Seja a um número inteiro qualquer. Mostre que exatamente um número de cada terna dada é divisível por 3
a, a+10, a+20

Passo 1

Resumo do enunciado: temos três números em progressão aritmética, a saber a, a+10 e a+20, e queremos mostrar que exatamente um deles é divisível por 3. O conteúdo aqui é análise de restos em aritmética modular, mais especificamente congruências módulo 3.

Passo 2

Primeiro, notamos que 10equiv1pmod3 e 20equiv2pmod3. Isso vai nos ajudar a expressar os três números em termos de um mesmo resto.

Passo 3

Chamemos r o resto de a na divisão por 3, ou seja, aequiv rpmod3 com rin0,1,2. Então
aequiv r, a+10equiv r+1, a+20equiv r+2pmod3

Passo 4

Como estamos trabalhando módulo 3, os valores r,,r+1,,r+2 (tomados módulo 3) são exatamente as três classes 0,1,2. Assim, entre esses três restos há exatamente um que é zero.

Passo 5

Se o resto é zero, o número correspondente é divisível por 3. Logo, exatamente um dos números a, a+10 ou a+20 é múltiplo de 3.

Resposta

Exatamente um dos números a, a+10 e a+20 é divisível por 3.

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