Seja L: R^{3} \rightarrow R^{3} definida por
\begin{aligned} & L\left(\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right], \\\ & L\left(\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] . \\\ & L\left(\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] . \end{aligned}
(a) Encontre a matriz de L em relação à base canônica S para R^{3}.
(b) Encontre
L\left(\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right]\right)
usando a definição de L e também a matriz obtida em (a).
(c) Encontre L\left(\left[\begin{array}{l}a \\\ b \\\ c\end{array}\right]\right).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
L\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3
pelas imagens dos vetores da base canônica \bigl\{e_1,e_2,e_3\bigr\}, onde
e_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \quad e_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad e_3 = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Precisamos usar o fato de que, em coordenadas canônicas, a matriz de L tem colunas iguais a L(e_1), L(e_2) e L(e_3), e depois aplicar linearidade para calcular L de vetores genéricos.

Passo 2

Para obter a matriz A de L na base canônica, colocamos como colunas as imagens dos vetores e_1,e_2,e_3. Logo,
A = \begin{pmatrix} \bigl| & \bigl| & \bigl|\\\ L(e_1) & L(e_2) & L(e_3)\\\ \bigl| & \bigl| & \bigl| \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Usando a definição de L e a linearidade, para \displaystyle v = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} = 1\cdot e_1 + 2\cdot e_2 + 3\cdot e_3, temos
L(v) = 1\,L(e_1) + 2\,L(e_2) + 3\,L(e_3) = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} +2\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} +3\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Somando coordenada a coordenada,
L(v) = \begin{pmatrix} 1 + 4 + 3\\\\ 1 + 0 + 0\\\\ 0 + 2 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\\\ 1\\\ 5\end{pmatrix}.

Passo 4

Agora usando a matriz A do Passo 2, fazemos
A \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot2 + 1\cdot3\\\\ 1\cdot1 + 0\cdot2 + 0\cdot3\\\\ 0\cdot1 + 1\cdot2 + 1\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\\\ 1\\\ 5\end{pmatrix},
confirmando o mesmo resultado.

Passo 5

Para um vetor genérico \displaystyle x = \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} = a\,e_1 + b\,e_2 + c\,e_3, aplicamos linearidade:
L(x) = a\,L(e_1) + b\,L(e_2) + c\,L(e_3) = a\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Somando, obtemos
L\bigl(\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}\bigr) = \begin{pmatrix} a + 2b + c\\\ a + 0b + 0c\\\\ 0a + b + c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 2b + c\\\ a\\\ b + c \end{pmatrix}.

Resposta

(a) \displaystyle A = \begin{pmatrix}1&2&1\\\ 1&0&0\\\ 0&1&1\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle L\bigl(\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}\bigr)=\begin{pmatrix}8\\\ 1\\\ 5\end{pmatrix}.
(c) \displaystyle L\bigl(\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}\bigr)=\begin{pmatrix}a+2b+c\a\b+c\end{pmatrix}.

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