Seja f: R^n R^n uma função tal que f(0)=0 e |f(u)-f(v)|= |u-v| para quaisquer u, v in R^n. (Ou seja: f deixa 0 fixo e preserva distâncias.) Prove:
(a) Para todo v in R^n, tem-se |f(v)|=|v|.
(b) Para quaisquer u, v in R^n, tem-se lang<= f(u), f(v)rang<==lang<= u, vrang<=. [Use a igualdade lang<= u, vrang<==12(|u|^2+|v|^2-|u-v|^2).]
(c) Os vetores u1=f(e1), ldots, un=f(en) formam uma base ortonormal em R^n.
(d) Para todo v=x1 e1+cdots+xn en in R^n, tem-se lang<= f(v), uirang<==xi, logo f(v)=x1 u1+cdots+xn un.
(e) f: R^n R^n é um operador linear, logo é ortogonal.
Uma função g: R^n R^n chama-se uma isometria quando lg (u)- g(v)|=|u-v| para quaisquer u, v in R^n. Conclua que toda isometria tem a forma g(v)=A cdot v+b, onde A: R^n R^n é um operador (linear) ortogonal e b in R^n é um vetor constante (independente de v ).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f: ℝⁿ→ℝⁿ que fixa 0 (f(0)=0) e preserva distâncias: |f(u)−f(v)|=|u−v|. O objetivo é mostrar que f preserva norma e produto interno ((a) e (b)), que leva a f enviar a base canônica numa base ortonormal ((c)), depois deduzir a forma de f em coordenadas ((d) e (e)) e então concluir que toda isometria g é afim, g(v)=A v+b com A ortogonal e b constante.

Passo 2

Para (a), basta notar que tomando v∈ℝⁿ e usando f(0)=0 temos |f(v)|=|f(v)−f(0)|=|v−0|=|v|.

Passo 3

Para (b), usamos a fórmula em termos de normas: para quaisquer u,v,
lang<= f(u),f(v)rang<==tfrac12l(|f(u)|^2+|f(v)|^2-|f(u)-f(v)|^2r)

Passo 4

Como f preserva normas e distâncias, substituímos e obtemos
lang<= f(u),f(v)rang<==tfrac12l(|u|^2+|v|^2-|u-v|^2r)=lang<= u,vrang<=

Passo 5

Para (c), definimos u_i=f(e_i) onde e_i são vetores da base canônica. Então para i,j:
lang<= ui,ujrang<==lang<= f(ei),f(ej)rang<==lang<= ei,ejrang<==de<aij,
logo {u_1,…,u_n} é ortonormal e, como tem n vetores em ℝⁿ, é base.

Passo 6

Em (d), escreva v=∑_{i=1}^n x_i e_i. Seja w=f(v). Como {u_i} é base ortonormal, as coordenadas de w são x’_i=⟨w,u_i⟩. Mas
x'i=lang<= f(v),uirang<==lang<= f(v),f(ei)rang<==lang<= v,eirang<==xi

Passo 7

Logo f(v)=∑ x_i u_i.

Passo 8

No (e), já vimos que f(∑ x_i e_i)=∑ x_i f(e_i), o que mostra linearidade de f. Como também preserva produto interno, f é um operador ortogonal.

Passo 9

Finalmente, se g:ℝⁿ→ℝⁿ é isometria sem fixar 0, basta tomar b=g(0) e definir h(v)=g(v)−b, que fixa 0 e preserva distâncias. Pelo que já provamos, h(v)=A v com A ortogonal. Assim g(v)=A v+b.

Resposta

Toda isometria g:ℝⁿ→ℝⁿ escreve-se como
g(v)=A,v+b,
onde A é um operador linear ortogonal (A^T A=I) e b∈ℝⁿ é um vetor fixo.

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