Seja
uma função tal que
e
para quaisquer
. (Ou seja: f deixa 0 fixo e preserva distâncias.) Prove:
(a) Para todo
, tem-se
.
(b) Para quaisquer
, tem-se
. [Use a igualdade
.]
(c) Os vetores
formam uma base ortonormal em
.
(d) Para todo
, tem-se
, logo
.
(e)
é um operador linear, logo é ortogonal.
Uma função
chama-se uma isometria quando
para quaisquer
. Conclua que toda isometria tem a forma
, onde
é um operador (linear) ortogonal e
é um vetor constante (independente de
).
(a) Para todo
(b) Para quaisquer
(c) Os vetores
(d) Para todo
(e)
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função f: ℝⁿ→ℝⁿ que fixa 0 (f(0)=0) e preserva distâncias: |f(u)−f(v)|=|u−v|. O objetivo é mostrar que f preserva norma e produto interno ((a) e (b)), que leva a f enviar a base canônica numa base ortonormal ((c)), depois deduzir a forma de f em coordenadas ((d) e (e)) e então concluir que toda isometria g é afim, g(v)=A v+b com A ortogonal e b constante.
Passo 2
Para (a), basta notar que tomando v∈ℝⁿ e usando f(0)=0 temos |f(v)|=|f(v)−f(0)|=|v−0|=|v|.
Passo 3
Para (b), usamos a fórmula em termos de normas: para quaisquer u,v,
Passo 4
Como f preserva normas e distâncias, substituímos e obtemos
Passo 5
Para (c), definimos u_i=f(e_i) onde e_i são vetores da base canônica. Então para i,j:
logo {u_1,…,u_n} é ortonormal e, como tem n vetores em ℝⁿ, é base.
Passo 6
Em (d), escreva v=∑_{i=1}^n x_i e_i. Seja w=f(v). Como {u_i} é base ortonormal, as coordenadas de w são x’_i=⟨w,u_i⟩. Mas
Passo 7
Logo f(v)=∑ x_i u_i.
Passo 8
No (e), já vimos que f(∑ x_i e_i)=∑ x_i f(e_i), o que mostra linearidade de f. Como também preserva produto interno, f é um operador ortogonal.
Passo 9
Finalmente, se g:ℝⁿ→ℝⁿ é isometria sem fixar 0, basta tomar b=g(0) e definir h(v)=g(v)−b, que fixa 0 e preserva distâncias. Pelo que já provamos, h(v)=A v com A ortogonal. Assim g(v)=A v+b.
Resposta
Toda isometria g:ℝⁿ→ℝⁿ escreve-se como
onde A é um operador linear ortogonal (A^T A=I) e b∈ℝⁿ é um vetor fixo.