Seja A: E F a transformação linear de posto 1 dada por A v=lang<= v, arang<= b, onde a in E e b in F são vetores neq 0. Sabendo que A^* w=lang<= w, brang<= a para todo w in F (cfr. Exercício 11.17), mostre que
A^+ w=lang<= w, brang<=|a|^2|b|^2 cdot a
para todo w in F.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear de posto 1
A: E → F tal que
A v = lang<= v,arang<=,b
e mostra que o adjunto é
A^*w=lang<= w,brang<=,a
O que queremos é a inversa de Moore–Penrose A^+, usando o fato de que para qualquer A de posto 1 vale
A^+ = A^*l(AA^*r)^+

Passo 2

Para achar A^+ começamos calculando
AA^* : F to F,
isto é, para todo w∈F:
AA^*w = Al(A^*wr) = Al(lang<= w,brang<=,ar) = lang<= w,brang<=,A a = lang<= w,brang<=,lang<= a,arang<=,b = |a|^2,lang<= w,brang<=,b

Passo 3

Note que a projeção ortogonal em span{b} é
Pb(w)=lang<= w,brang<=|b|^2,b,
logo podemos reescrever
AA^* = |a|^2,|b|^2,Pb

Passo 4

Como AA^* tem posto 1, sua pseudoinversa é
l(AA^*r)^+ = 1|a|^2,|b|^2,Pb,
pois em span{b} inverte o fator escalar e anula o complemento.

Passo 5

Finalmente:
A^+ = A^*,(AA^*)^+ = A^*l(1|a|^2|b|^2,Pbr)
e aplicando a w:
A^+w = 1|a|^2|b|^2,A^*l(lang<= w,brang<=|b|^2br) = 1|a|^2|b|^2,lang<= w,brang<=|b|^2,A^*b = 1|a|^2|b|^2,lang<= w,brang<=|b|^2,|b|^2a = lang<= w,brang<=|a|^2|b|^2,a

Passo 6

Pronto! Obtivemos a expressão de A^+ em termos de a e b.

Resposta

A^+w=lang<= w,brang<=|a|^2|b|^2,a

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