Seja
a transformação linear de posto 1 dada por
, onde
e
são vetores
. Sabendo que
a para todo
(cfr. Exercício 11.17), mostre que
para todo
.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear de posto 1
A: E → F tal que
e mostra que o adjunto é
O que queremos é a inversa de Moore–Penrose A^+, usando o fato de que para qualquer A de posto 1 vale
Passo 2
Para achar A^+ começamos calculando
isto é, para todo w∈F:
Passo 3
Note que a projeção ortogonal em span{b} é
logo podemos reescrever
Passo 4
Como AA^* tem posto 1, sua pseudoinversa é
pois em span{b} inverte o fator escalar e anula o complemento.
Passo 5
Finalmente:
e aplicando a w:
Passo 6
Pronto! Obtivemos a expressão de A^+ em termos de a e b.