Assinale verdadeiro (V) ou falso (F):
( ) Se A, B: E E são operadores de mesmo posto r então o produto B A tem posto r.
( ) Se as matrizes a, b in M(m times n) têm o mesmo espaço-coluna então elas são matrizes da mesma transformação linear.
( ) A matriz do operador linear A: E E na base a in M(2 times 3) difere da matriz do mesmo operador na base b in M(3 times 2) pela permutação das duas primeiras colunas.
( ) Sejam a b=I2 e b a=I3. Se a^prime então a^prime.
( ) Se a matriz se obtém da matriz a por uma permutação de suas linhas então e a têm o mesmo posto.

Passo 1

Temos cinco afirmações para julgar como verdadeiras ou falsas. O conteúdo principal envolve posto (rank) de transformações lineares, espaço-coluna de matrizes, mudança de base por permutação de vetores, inversibilidade de matrizes retangulares e efeitos de operações sobre o posto. Vamos usar conceitos de posto, espaço-imagem, matrizes de permutação e propriedades de inversa.

Passo 2

Para a primeira afirmação usamos a desigualdade de posto:
rank(BA) <= min(rank(A),rank(B))
Como nem sempre ocorre igualdade, basta um exemplo: em E= R^2, seja
A(x,y)=(x,0) e B(x,y)=(0,y). Temos rank(A)=rank(B)=1 mas
BA(x,y)=B(A(x,y))=B(x,0)=(0,0) tem posto 0. Logo a afirmação é falsa.

Passo 3

A segunda afirmação confunde ter o mesmo espaço-coluna com representar a mesma transformação. Duas matrizes a, bin M(mtimes n) podem gerar o mesmo subespaço de colunas mas enviar vetores diferentes. Assim, elas não representam necessariamente a mesma transformação linear. A afirmação é falsa.

Passo 4

Para a terceira afirmação, trocar os vetores v1 e v2 na base corresponde a conjugar a matriz A por uma matriz de permutação P que troca as duas primeiras coordenadas, isto é, a nova matriz é
P^-1AP = P A P,
que permuta tanto linhas quanto colunas de A. A afirmação dizia que só as colunas mudam, o que não é verdade. Logo é falsa.

Passo 5

Na quarta afirmação, com ain M(2times3) e bin M(3times2), a b=I2 diz que a é inversa à esquerda de b. Mas b a é uma matriz 3times3 de posto <=2, nunca pode ser I3. Logo a afirmação é falsa.

Passo 6

A quinta afirmação invoca o fato de que permutar linhas de uma matriz é multiplicar por uma matriz de permutação invertível P, e
rank(P a)=rank( a)
Portanto, a permutação de linhas não altera o posto. A afirmação é verdadeira.

Resposta

F, F, F, F, V