Assinale verdadeiro (V) ou falso (F):
( ) Se
são operadores de mesmo posto
então o produto
tem posto
.
( ) Se as matrizes
têm o mesmo espaço-coluna então elas são matrizes da mesma transformação linear.
( ) A matriz do operador linear
na base
difere da matriz do mesmo operador na base
pela permutação das duas primeiras colunas.
( ) Sejam
e
. Se
então
.
( ) Se a matriz
se obtém da matriz a por uma permutação de suas linhas então
e a têm o mesmo posto.
( ) Se
( ) Se as matrizes
( ) A matriz do operador linear
( ) Sejam
( ) Se a matriz
Passo 1
Temos cinco afirmações para julgar como verdadeiras ou falsas. O conteúdo principal envolve posto (rank) de transformações lineares, espaço-coluna de matrizes, mudança de base por permutação de vetores, inversibilidade de matrizes retangulares e efeitos de operações sobre o posto. Vamos usar conceitos de posto, espaço-imagem, matrizes de permutação e propriedades de inversa.
Passo 2
Para a primeira afirmação usamos a desigualdade de posto:
Como nem sempre ocorre igualdade, basta um exemplo: em
Passo 3
A segunda afirmação confunde ter o mesmo espaço-coluna com representar a mesma transformação. Duas matrizes
podem gerar o mesmo subespaço de colunas mas enviar vetores diferentes. Assim, elas não representam necessariamente a mesma transformação linear. A afirmação é falsa.
Passo 4
Para a terceira afirmação, trocar os vetores
e
na base corresponde a conjugar a matriz
por uma matriz de permutação
que troca as duas primeiras coordenadas, isto é, a nova matriz é
que permuta tanto linhas quanto colunas de
Passo 5
Na quarta afirmação, com
e
,
diz que
é inversa à esquerda de
. Mas
é uma matriz
de posto
, nunca pode ser
. Logo a afirmação é falsa.
Passo 6
A quinta afirmação invoca o fato de que permutar linhas de uma matriz é multiplicar por uma matriz de permutação invertível
, e
Portanto, a permutação de linhas não altera o posto. A afirmação é verdadeira.
Resposta
F, F, F, F, V