Determine a pseudo-inversa de cada uma das seguintes transformações lineares:
(d) A projeção (não-ortogonal)
, sobre a reta
, paralelamente à reta G. (Descreva
geometricamente.)
(d) A projeção (não-ortogonal)
Passo 1
O enunciado pede a pseudo-inversa (Moore–Penrose) de uma projeção linear não-ortogonal
, que envia cada vetor em
na reta
, paralelamente à reta
. Vamos usar o fato geral de que, para uma aplicação linear de posto
, a pseudoinversa é o inverso de
restrito ao complementar ortogonal do núcleo, e anula no complementar ortogonal da imagem.
Passo 2
Para começar, identificamos imagem e núcleo de
. Como
projeta sobre
paralelamente a
, temos
Passo 3
Pelo teorema da pseudoinversa, ela deve satisfazer:
-
é zero em , - em
, ela coincide com o inverso de
que é um isomorfismo entre essas retas de dimensão 1.
Passo 4
Como ambas as retas
e
têm dimensão 1 e
restringido a
é bijetivo em
, existe um único inverso
Logo, em qualquer vetor
, para calcular
:
- Primeiro projetamos
ortogonalmente em (eliminando a componente em ). - Depois aplicamos
a essa componente em , obtendo um ponto em .
A componente emé mandada a zero.
Passo 5
Geométricamente, a ação de
é:
- “Cortar” o vetor em sua projeção ortogonal sobre
, desprezando tudo que está em . - Levar esse ponto em
de volta à reta de onde viria originalmente sob .
Em outras palavras,é a projeção ortogonal sobre , paralelamente a .
Resposta
A pseudoinversa
é a projeção ortogonal sobre a reta
(o complementar ortogonal do núcleo), paralelamente a
(o complementar ortogonal da imagem).