Determine a pseudo-inversa de cada uma das seguintes transformações lineares:
(d) A projeção (não-ortogonal) P: R^2 R^2, sobre a reta F, paralelamente à reta G. (Descreva P^+geometricamente.)

Passo 1

O enunciado pede a pseudo-inversa (Moore–Penrose) de uma projeção linear não-ortogonal P: R^2to R^2, que envia cada vetor em R^2 na reta F, paralelamente à reta G. Vamos usar o fato geral de que, para uma aplicação linear de posto r, a pseudoinversa é o inverso de P restrito ao complementar ortogonal do núcleo, e anula no complementar ortogonal da imagem.

Passo 2

Para começar, identificamos imagem e núcleo de P. Como P projeta sobre F paralelamente a G, temos
Im(P)=F,
ker(P)=G

Passo 3

Pelo teorema da pseudoinversa, ela deve satisfazer:
  1. P^+ é zero em (ImP)^perp=F^perp,
  2. em Im(P)=F, ela coincide com o inverso de
P|(ker P)^perp: (ker P)^perp = G^perp longrightarrow F
que é um isomorfismo entre essas retas de dimensão 1.

Passo 4

Como ambas as retas G^perp e F têm dimensão 1 e P restringido a G^perp é bijetivo em F, existe um único inverso
(P|G^perp)^-1:Fto G^perp
Logo, em qualquer vetor yin R^2, para calcular P^+(y):
  • Primeiro projetamos y ortogonalmente em F (eliminando a componente em F^perp).
  • Depois aplicamos (P|G^perp)^-1 a essa componente em F, obtendo um ponto em G^perp.
    A componente em F^perp é mandada a zero.

Passo 5

Geométricamente, a ação de P^+ é:
  1. “Cortar” o vetor em sua projeção ortogonal sobre F, desprezando tudo que está em F^perp.
  2. Levar esse ponto em F de volta à reta G^perp de onde viria originalmente sob P.
    Em outras palavras, P^+ é a projeção ortogonal sobre G^perp, paralelamente a F^perp.

Resposta

A pseudoinversa P^+ é a projeção ortogonal sobre a reta G^perp (o complementar ortogonal do núcleo), paralelamente a F^perp (o complementar ortogonal da imagem).

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