Sejam a in M(r times r) e c in M(s times s) matrizes ortogonais. Prove que a matriz (r+s) times(r+s) abaixo é ortogonal se, e somente se, b=0 :
[ll a & b 0 & c ]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz em bloco
M=a & b[0.3em]0 & c,
com a\in M(r×r) e c\in M(s×s) ortogonais, é ortogonal se e somente se b=0. Vamos usar definição de matriz ortogonal e multiplicação em blocos.]

Passo 2

Definição: uma matriz M é ortogonal quando
M^T M = Ir+s
Primeiro, computamos M^T e o produto M^T M em blocos:

Passo 3

M^T = a^T & 0[0.3em]b^T & c^T,
M^T M = a^T & 0[0.3em]b^T & c^T a & b[0.3em]0 & c = a^T a & a^T b[0.3em]b^T a & b^T b + c^T c
]

Passo 4

Como a e c são ortogonais, temos
a^T a = Ir,
c^T c = Is
Para M ser ortogonal devemos ter M^T M = I_{r+s}, isto é:
a^T b = 0r×s,
b^T b + Is = Is implies b^T b = 0s×s
De b^T b=0 segue que b só pode ser a matriz nula.

Passo 5

Agora a recíproca: se b=0 então
M = a & 0[0.3em]0 & c
é uma matriz diagonal em blocos cujas diagonais são ortogonais. Logo
M^T M = a^T a & 0[0.3em]0 & c^T c = Ir & 0[0.3em]0 & Is = Ir+s,
o que mostra que M é ortogonal.]

Resposta

b=0

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