Sejam
e
matrizes ortogonais. Prove que a matriz
abaixo é ortogonal se, e somente se,
:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a matriz em bloco
com a\in M(r×r) e c\in M(s×s) ortogonais, é ortogonal se e somente se b=0. Vamos usar definição de matriz ortogonal e multiplicação em blocos.]
Passo 2
Definição: uma matriz M é ortogonal quando
Primeiro, computamos M^T e o produto M^T M em blocos:
Passo 3
]
Passo 4
Como a e c são ortogonais, temos
Para M ser ortogonal devemos ter M^T M = I_{r+s}, isto é:
De
segue que b só pode ser a matriz nula.
Passo 5
Agora a recíproca: se b=0 então
é uma matriz diagonal em blocos cujas diagonais são ortogonais. Logo
o que mostra que M é ortogonal.]