Ache a decomposição polar da matriz [cc2 & 2 2 & -1].

Passo 1

O enunciado pede a decomposição polar da matriz A = 2 & 22 & -1. Conteúdo: decomposição polar, que diz que toda matriz quadrada invertível real A pode ser escrita como A = Q S, onde Q é ortogonal e S é simétrica semidefinida positiva. Vamos usar as fórmulas S = raizA^T A e Q = A S^-1.

Passo 2

Primeiro calculamos A^T A. Como A é simétrica, A^T A = A^2. Assim,
A^T A=2 & 22 & -1^2=8 & 22 & 5

Passo 3

Em seguida, achamos os autovalores de resolvendo :
u_1=\frac1{\sqrt5} ,\quad u_2=\frac1{\sqrt5} .$$

Passo 4

Assim, diagonalizamos A^T A = U,diag(9,4),U^T, com U=[u1;u2]. Daí
S=raizA^T A=U,diag(3,2),U^T =14/5 & 2/52/5 & 11/5

Passo 5

Agora calculamos S^-1. Invertendo 14/5 & 2/52/5 & 11/5 obtém-se
S^-1=13011 & -2-2 & 14

Passo 6

Por fim, construímos Q = A S^-1:
$ Q=2 & 22 & -1cdot13011 & -2-2 & 14=3/5 & 4/54/5 & -3/5, det Q=-1é\det Q=-1 det A<0í\det A<0$.

Resposta

A decomposição polar é
A = Q,S
com
Q = 3/5 & 4/54/5 & -3/5, S = 14/5 & 2/52/5 & 11/5

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