Sejam A e B matrizes m \times n e n \times r, respectivamente. Defina matrizes S e M(m+n) \times(m+ n) por
S=\left(\begin{array}{cc} I & A \\\ O & I \end{array}\right), \quad M=\left(\begin{array}{cc} A B & O \\\ B & O \end{array}\right)
Encontre a forma em bloco de S^{-1} e use-a para calcular a forma em bloco do produto S^{-1} M S.

Passo 1

O enunciado dá
S=\begin{pmatrix}I_m & A\\[6pt]0 & I_n\end{pmatrix},\quad M=\begin{pmatrix}A\,B & 0\\[3pt]B & 0\end{pmatrix},
ambas de ordem (m+n)\times(m+n).
Pede-se a forma em bloco de S^{-1} e do produto S^{-1}MS. Vamos usar a fórmula de inversão de matrizes em bloco triangular e a multiplicação de matrizes em bloco.]

Passo 2

Para
S=\begin{pmatrix}X & Y\\[3pt]0 & Z\end{pmatrix},
com X e Z invertíveis, vale
S^{-1}=\begin{pmatrix}X^{-1} & -\,X^{-1}Y\,Z^{-1}\\[3pt]0 & Z^{-1}\end{pmatrix}.
Aqui X=I_m, Y=A, Z=I_n, logo
S^{-1} =\begin{pmatrix}I_m^{-1} & -\,I_m^{-1}\,A\,I_n^{-1}\\[3pt]0 & I_n^{-1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}I_m & -A\\[3pt]0 & I_n\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculemos primeiro M\,S:
M\,S =\begin{pmatrix}A B & 0\\[3pt]B & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I_m & A\\[3pt]0 & I_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} A B\cdot I_m + 0\cdot0 & A B\cdot A + 0\cdot I_n\\[6pt] B\cdot I_m + 0\cdot0 & B\cdot A + 0\cdot I_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}A B & A B A\\[3pt]B & B A\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora
S^{-1}(M\,S) =\begin{pmatrix}I_m & -A\\[3pt]0 & I_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A B & A B A\\[3pt]B & B A\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} I_m\,(A B)+(-A)\,B & I_m\,(A B A)+(-A)\,(B A)\\[6pt] 0\,(A B)+I_n\,B & 0\,(A B A)+I_n\,(B A) \end{pmatrix}.
Como A B - A B=0 e A B A - A B A=0, sobra
S^{-1}MS =\begin{pmatrix}0 & 0\\[3pt]B & B A\end{pmatrix}.]

Resposta

S^{-1}=\displaystyle\begin{pmatrix}I_m & -A\\\ 0 & I_n\end{pmatrix} \displaystyle S^{-1}MS=\begin{pmatrix}0 & 0\B & BA\end{pmatrix}

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