Sejam U e R matrizes triangulares superiores n times n e faça T=U R. Mostre que T também é triangular superior e que tj j=ui j rj j para j=1,2, ldots, n.

Passo 1

O enunciado diz que U e R são matrizes triangulares superiores de ordem n e define T = U R. Queremos provar duas coisas:
  1. T é também triangular superior.
  2. Seus elementos diagonais satisfazem tjj=ujj,rjj para j=1,2,dots,n.
    Vamos usar a fórmula do produto de matrizes e explorar as propriedades de zeros em U e R.

Passo 2

Pela definição de multiplicação de matrizes, o elemento genérico de T é
tij ;=;sumk=1^nuik,rkj

Passo 3

Mostramos que tij=0 sempre que i>j.
  • Se k<= j< i, então i>k, e como U é triangular superior, uik=0.
  • Se k>j, então k>j, e como R é triangular superior, rkj=0.
    Logo, para todo k cada produto uikrkj vale zero, de modo que a soma também é zero:
tij=0sempre que i>j

Passo 4

Como todos os elementos abaixo da diagonal de T são nulos, T é triangular superior.

Passo 5

Agora analisamos o caso i=j. Temos
tjj=sumk=1^nujk,rkj
  • Para k<j, j>k implica ujk=0 (pela triangularidade de U).
  • Para k>j, k>j implica rkj=0 (pela triangularidade de R).
    Assim, o único termo não nulo no somatório ocorre em k=j.

Passo 6

Concluímos que
tjj=ujj,rjj para j=1,2,dots,n

Resposta

T é triangular superior e, para cada j=1,2,dots,n,
tjj=ujj,rjj

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