Sejam
e
matrizes triangulares superiores
e faça
. Mostre que
também é triangular superior e que
para
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes triangulares superiores de ordem
e define
. Queremos provar duas coisas:
-
é também triangular superior. - Seus elementos diagonais satisfazem
para .
Vamos usar a fórmula do produto de matrizes e explorar as propriedades de zeros eme .
Passo 2
Pela definição de multiplicação de matrizes, o elemento genérico de
é
Passo 3
Mostramos que
sempre que
.
- Se
, então , e como é triangular superior, . - Se
, então , e como é triangular superior, .
Logo, para todocada produto vale zero, de modo que a soma também é zero:
Passo 4
Como todos os elementos abaixo da diagonal de
são nulos,
é triangular superior.
Passo 5
Agora analisamos o caso
. Temos
- Para
, implica (pela triangularidade de ). - Para
, implica (pela triangularidade de ).
Assim, o único termo não nulo no somatório ocorre em.
Passo 6
Concluímos que