Sejam A1, A2, A3, A4, A5, pontos do plano. Mostre que:
A1 A2+A2 A3+A3 A4+A4 A5+A5 A1=0

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede: temos cinco pontos quaisquer no plano e queremos mostrar que, se andarmos de A₁ até A₂, depois até A₃, até A₄, até A₅ e enfim voltarmos a A₁, o deslocamento total é nulo. O conteúdo aqui é soma de vetores e a ideia de cancelamento telescópico.

Passo 2

Para usar essa ideia, introduzimos o vetor posição de cada ponto: seja r(Ai) o vetor posição de Ai. Aí vale a propriedade básica de vetores:
AiAj=r(Aj)-r(Ai)

Passo 3

Agora somamos todos os vetores do enunciado aplicando essa definição:
A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A1 = (r(A2)-r(A1))+(r(A3)-r(A2))+(r(A4)-r(A3)) +(r(A5)-r(A4))+(r(A1)-r(A5))
Nesse somatório, cada r(Ai) aparece uma vez com sinal positivo e uma vez com sinal negativo, então tudo se cancela.

Passo 4

Como o somatório telescópico anula todos os termos, sobra o vetor nulo. Assim, a soma pedida é zero.

Resposta

0

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