Sejam A, B e C pontos colineares no plano. Mostre que existe um escalar t, tal que A B=t A C. Além disso, t>0 quando A B e A C têm o mesmo sentido e t<0 quando A B e A C têm sentidos opostos.

Passo 1

O enunciado diz que A,B,C são pontos colineares no plano. Isso significa que os vetores AB e AC estão sobre a mesma reta, ou seja, são vetores colineares. O conteúdo aqui é dependência linear de vetores no plano e vamos usar a definição de vetores colineares.

Passo 2

Sabendo que dois vetores não nulos vec u e vec v são colineares se, e somente se, existe escalar t tal que
vec u = t,vec v
Aplicamos isso a AB e AC: pela colinearidade, existe algum t com
AB = t,AC

Passo 3

Para determinar explicitamente o valor de t, usamos o produto escalar. Como ACneqvec0, temos
t = ABcdotACACcdotAC
Essa escolha faz com que
AB - t,AC
seja ortogonal a AC e, por ser também colinear, só pode ser o vetor nulo, garantindo AB=t,AC.

Passo 4

Para ver o sinal de t, note que o denominador ACcdotAC=|AC|^2 é sempre positivo (desde que Aneq C). Assim, o sinal de t coincide com o sinal de ABcdotAC. Se o produto escalar for positivo, o ângulo entre AB e AC é agudo, e eles têm o mesmo sentido (logo t>0). Se for negativo, o ângulo é obtuso e os vetores apontam em sentidos opostos (logo t<0).

Resposta

O escalar
t = ABcdotACACcdotAC
satisfaz
AB = t,AC,
com t>0 quando AB e AC têm o mesmo sentido e t<0 quando têm sentidos opostos.

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