Sejam P=(1,2), Q=(-2,-2) e r a reta determinada por esses pontos.
Determine as coordenadas dos pontos que estão sobre r e cuja distância ao ponto Q é lambda vezes a distância ao ponto P, onde lambda>0.
Indicação: Seja R=(x, y) o ponto desejado. A condição do problema equivale a |R Q|=lambda|R P|. Como os pontos P, Q e R são colineares, R Q= pm lambda R P.

Passo 1

O enunciado pede os pontos R=(x,y) sobre a reta r que passa por P=(1,2) e Q=(-2,-2) de modo que a distância de R a Q seja λ vezes a distância de R a P. O conteúdo é razão de distâncias em pontos colineares, e vamos precisar usar a parametrização da reta e a fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

Como P, Q e R são colineares, podemos introduzir um parâmetro t tal que R = P + t·(Q–P). O vetor Q–P é (-3,-4), logo
R(t)= (1,2) + t,(-3,-4) = (1-3t,,;2-4t)

Passo 3

Agora calculamos as distâncias |RQ| e |RP| usando a fórmula da distância entre pontos. Primeiro
|RQ| = raiz(1-3t +2)^2 + (2-4t +2)^2 = raiz(3-3t)^2 + (4-4t)^2 = 5,|1-t|
E
|RP| = raiz(-3t)^2 + (-4t)^2 = 5,|t|

Passo 4

A condição do problema é |RQ| = λ |RP|, ou seja
5,|1-t| = λ,5,|t| Longrightarrow |1-t| = λ,|t|

Passo 5

Essa igualdade gera duas equações lineares sem valor absoluto: 1) 1–t = λ t e 2) 1–t = –λ t.

Passo 6

Resolvendo a primeira: 1–t = λ t ⇒ 1 = t(1+λ) ⇒ t₁ = 1/(1+λ). Substituindo em R(t):
R1 = l(1-3tfrac11+λ,;2-4tfrac11+λr) = l(tfracλ-2λ+1,;tfrac2(λ-1)λ+1r)

Passo 7

Resolvendo a segunda: 1–t = –λ t ⇒ 1 = t(1–λ) ⇒ t₂ = 1/(1–λ) (válido se λ≠1). Substituindo em R(t):
R2 = l(1-3tfrac11-λ,;2-4tfrac11-λr) = l(tfracλ+2λ-1,;tfrac2(λ+1)λ-1r)

Resposta

Os pontos procurados são
R1 = l(λ-2λ+1,;2(λ-1)λ+1r)
e, para λ≠1,
R2 = l(λ+2λ-1,;2(λ+1)λ-1r)
No caso especial λ=1 existe apenas o ponto
R = l(-tfrac12,0r),
que corresponde ao ponto médio de P e Q.

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