O que seria preciso saber sobre as colunas pivôs de uma matriz aumentada para ter certeza de que o sistema linear é consistente e tem uma única solução?
Passo 1
O enunciado pergunta, para a matriz aumentada
de um sistema linear com
incógnitas, o que precisamos saber sobre as colunas pivôs para garantir que o sistema seja consistente e tenha solução única. Vamos usar o método de eliminação e o conceito de pivô em cada coluna.
Passo 2
Consistência exige que não haja linha do tipo
na forma escalonada. Equivalente a isso é que não exista pivô na coluna
(a coluna de termos independentes). Se houvesse pivô nessa coluna, teríamos
com
e o sistema seria inconsistente.
Passo 3
Solução única exige que não haja variáveis livres. Isso só acontece se todas as colunas de incógnitas (colunas
) forem pivôs, ou seja, o número de pivôs seja exatamente
. Em outras palavras, cada coluna de variável deve conter um pivô diferente.
Resposta
Para ter consistência e única solução na matriz aumentada
com
incógnitas, é preciso que:
- não haja pivô na coluna
(nenhum pivô nos termos independentes); - haja exatamente
pivôs, isto é, cada coluna de incógnita seja uma coluna pivô.