O que seria preciso saber sobre as colunas pivôs de uma matriz aumentada para ter certeza de que o sistema linear é consistente e tem uma única solução?

Passo 1

O enunciado pergunta, para a matriz aumentada [A\mid b] de um sistema linear com n incógnitas, o que precisamos saber sobre as colunas pivôs para garantir que o sistema seja consistente e tenha solução única. Vamos usar o método de eliminação e o conceito de pivô em cada coluna.

Passo 2

Consistência exige que não haja linha do tipo
[\,0\;\;0\;\cdots\;0\mid d\,]\quad\text{com }d\neq0
na forma escalonada. Equivalente a isso é que não exista pivô na coluna (n+1) (a coluna de termos independentes). Se houvesse pivô nessa coluna, teríamos 0=d com d\neq0 e o sistema seria inconsistente.

Passo 3

Solução única exige que não haja variáveis livres. Isso só acontece se todas as colunas de incógnitas (colunas 1,2,\dots,n) forem pivôs, ou seja, o número de pivôs seja exatamente n. Em outras palavras, cada coluna de variável deve conter um pivô diferente.

Resposta

Para ter consistência e única solução na matriz aumentada [A\mid b] com n incógnitas, é preciso que:
  1. não haja pivô na coluna (n+1) (nenhum pivô nos termos independentes);
  2. haja exatamente n pivôs, isto é, cada coluna de incógnita seja uma coluna pivô.

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