- O que seria preciso saber sobre o conjunto solução de um sistema linear homogêneo de 18 equações e 20 incógnitas para saber que toda equação não homogênea associada tem solução? Discuta.
Passo 1
O enunciado fala de um sistema linear homogêneo
, em que
é uma matriz de
equações e
incógnitas. Queremos saber que informação sobre o conjunto-solução desse sistema homogêneo garante que todo sistema não homogêneo associado
tenha solução para qualquer
. O conteúdo chave aqui é o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem) e a condição de existência de solução para sistemas lineares.
Passo 2
Para um sistema
ser sempre compatível, é necessário e suficiente que a imagem de
seja todo o espaço
, isto é,
Em termos de posto, isso equivale a
Passo 3
Pelo Teorema da Dimensão, para qualquer matriz
de tamanho
vale
Como queremos
, segue que
Passo 4
Logo, a informação que precisamos extrair do conjunto-solução do sistema homogêneo é que esse conjunto (o núcleo de
) seja um subespaço de dimensão exatamente
. Em outras palavras, o sistema homogêneo deve ter
graus de liberdade (ou
variáveis livres).
Resposta
É preciso saber que
o que garante
e, portanto, que todo sistema não homogêneo
seja compatível para qualquer
.