1. O que seria preciso saber sobre o conjunto solução de um sistema linear homogêneo de 18 equações e 20 incógnitas para saber que toda equação não homogênea associada tem solução? Discuta.

Passo 1

O enunciado fala de um sistema linear homogêneo A x = 0, em que A é uma matriz de 18 equações e 20 incógnitas. Queremos saber que informação sobre o conjunto-solução desse sistema homogêneo garante que todo sistema não homogêneo associado
A x = b
tenha solução para qualquer b\in\mathbb{R}^{18}. O conteúdo chave aqui é o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem) e a condição de existência de solução para sistemas lineares.

Passo 2

Para um sistema A x = b ser sempre compatível, é necessário e suficiente que a imagem de A seja todo o espaço \mathbb{R}^{18}, isto é,
\operatorname{Im}(A) = \mathbb{R}^{18}.
Em termos de posto, isso equivale a
\operatorname{rank}(A) = 18.

Passo 3

Pelo Teorema da Dimensão, para qualquer matriz A de tamanho 18\times 20 vale
\dim\bigl(\ker(A)\bigr) + \dim\bigl(\operatorname{Im}(A)\bigr) = 20.
Como queremos \dim(\operatorname{Im}(A))=18, segue que
\dim\bigl(\ker(A)\bigr) = 20 - 18 = 2.

Passo 4

Logo, a informação que precisamos extrair do conjunto-solução do sistema homogêneo é que esse conjunto (o núcleo de A) seja um subespaço de dimensão exatamente 2. Em outras palavras, o sistema homogêneo deve ter 2 graus de liberdade (ou 2 variáveis livres).

Resposta

É preciso saber que
\dim\bigl(\ker(A)\bigr) = 2,
o que garante \operatorname{rank}(A)=18 e, portanto, que todo sistema não homogêneo A x = b seja compatível para qualquer b\in\mathbb{R}^{18}.

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