Resolva as seguintes equações por fatoração.
(h) 14-x-12+x=14

Passo 1

O enunciado pede para resolver por fatoração a equação racional
14 - x ;-;12 + x ;=;14
O conteúdo aqui é manipulação de frações algébricas e resolução de uma equação do segundo grau após eliminar denominadores.

Passo 2

Identificamos o domínio da expressão: não podemos ter 4 - x = 0 nem 2 + x = 0. Logo
x neq 4, x neq -2

Passo 3

Reescrevemos o lado esquerdo com denominador comum (4 - x)(2 + x):
14 - x - 12 + x = 2 + x - (4 - x)(4 - x)(2 + x) = 2 + x - 4 + x(4 - x)(2 + x) = 2x - 2(4 - x)(2 + x)
Assim a equação vira
2x - 2(4 - x)(2 + x) = 14

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por 4,(4 - x)(2 + x) para eliminar os denominadores:
4,(2x - 2) = (4 - x)(2 + x)
No lado esquerdo fica
8x - 8,
e no direito, ao expandir,
(4 - x)(2 + x) = 8 + 4x - 2x - x^2 = 8 + 2x - x^2
Portanto obtemos a equação polinomial
8x - 8 = 8 + 2x - x^2

Passo 5

Reagrupamos tudo em um lado para formar um polinômio igual a zero:
8x - 8 - 8 - 2x + x^2 = 0 Longrightarrow x^2 + 6x - 16 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = 6^2 - 4cdot1cdot(-16) = 36 + 64 = 100,
logo as raízes são
x = -6 pm 102 ;Longrightarrow; x = 2 ou x = -8

Passo 6

Precisamos verificar se alguma dessas soluções cai fora do domínio. As restrições eram x neq 4 e x neq -2, e nem 2 nem -8 violam isso. Portanto ambas são válidas.

Resposta

As soluções da equação são
x = 2 e x = -8

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