22.66 A soma de 40 termos de uma certa progressão aritmética é 430, enquanto a soma de 60 termos é 945 . Determine o n-ésimo termo da progressão aritmética.

Passo 1

O enunciado diz que a soma dos primeiros 40 termos de uma progressão aritmética é 430 e a soma dos primeiros 60 termos é 945. O conteúdo necessário é a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética, em que, para n termos, temos
Sn = n2l(2a1 + (n-1)dr),
onde a1 é o primeiro termo e d é a razão. Nosso objetivo é achar a1 e d e então escrever o n-ésimo termo an = a1 + (n-1)d.

Passo 2

Aplicando a fórmula da soma para n=40, obtemos
S40 = 402l(2a1 + 39dr) = 20l(2a1 + 39dr)
Como S40=430, segue
20l(2a1 + 39dr) = 430 Longrightarrow 2a1 + 39d = 43020 = 21,5

Passo 3

Aplicando a fórmula da soma para n=60, obtemos
S60 = 602l(2a1 + 59dr) = 30l(2a1 + 59dr)
Como S60=945, segue
30l(2a1 + 59dr) = 945 Longrightarrow 2a1 + 59d = 94530 = 31,5

Passo 4

Para encontrar d, subtraímos a primeira equação da segunda:
(2a1 + 59d) - (2a1 + 39d) = 31,5 - 21,5 Longrightarrow 20d = 10 Longrightarrow d = 0,5

Passo 5

Substituindo d=0,5 em 2a1 + 39d = 21,5, vem
2a1 + 39cdot 0,5 = 21,5 Longrightarrow 2a1 + 19,5 = 21,5 Longrightarrow 2a1 = 2 Longrightarrow a1 = 1

Passo 6

Com a1=1 e d=0,5, o n-ésimo termo é
an = a1 + (n-1)d = 1 + (n-1)cdot 0,5 = 1 + 0,5n - 0,5 = 0,5n + 0,5

Resposta

an = n+12

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