Suponha que a matriz de coeficientes de um sistema linear com três equações e três incógnitas tenha um pivô em cada coluna. Explique por que o sistema tem uma única solução.
Passo 1
O enunciado diz que temos um sistema linear com três equações e três incógnitas cuja matriz de coeficientes
, ao ser reduzida a uma forma escalonada, apresenta um pivô em cada uma das três colunas. O conteúdo aqui envolve pivôs, posto (rank) da matriz e a relação entre posto e número de soluções de um sistema.
Passo 2
Um pivô em uma coluna significa que naquela coluna, após operações elementares, existe uma linha cuja única entrada não nula está naquela coluna e vale 1. Se há um pivô em cada coluna de
, então cada coluna possui esse “marcador” de independência. Formalmente, o número de pivôs é igual ao posto de
, denotado
.
Passo 3
Como há exatamente três pivôs, concluímos que
Num sistema com três incógnitas, ter
implica que o posto da matriz de coeficientes é igual ao número de colunas. Nesse caso:
- Não existem variáveis livres, pois cada incógnita está associada a um pivô.
- A equação homogênea
só admite a solução trivial . - Para qualquer vetor de termos constantes
, a solução de é única.
Passo 4
Do teorema que relaciona posto máximo ao número de soluções, sabemos que se
é igual ao número de incógnitas, então o sistema tem exatamente uma solução. Além disso, isso equivale a dizer que
é invertível, o que reforça a unicidade da solução.
Resposta
O sistema tem uma única solução porque a presença de um pivô em cada coluna garante
, igual ao número de incógnitas, eliminando variáveis livres e tornando
invertível.