Suponha que a matriz de coeficientes de um sistema linear com três equações e três incógnitas tenha um pivô em cada coluna. Explique por que o sistema tem uma única solução.

Passo 1

O enunciado diz que temos um sistema linear com três equações e três incógnitas cuja matriz de coeficientes A\in\mathbb{R}^{3\times3}, ao ser reduzida a uma forma escalonada, apresenta um pivô em cada uma das três colunas. O conteúdo aqui envolve pivôs, posto (rank) da matriz e a relação entre posto e número de soluções de um sistema.

Passo 2

Um pivô em uma coluna significa que naquela coluna, após operações elementares, existe uma linha cuja única entrada não nula está naquela coluna e vale 1. Se há um pivô em cada coluna de A, então cada coluna possui esse “marcador” de independência. Formalmente, o número de pivôs é igual ao posto de A, denotado \mathrm{rank}(A).

Passo 3

Como há exatamente três pivôs, concluímos que
\mathrm{rank}(A)=3.
Num sistema com três incógnitas, ter \mathrm{rank}(A)=3 implica que o posto da matriz de coeficientes é igual ao número de colunas. Nesse caso:
  1. Não existem variáveis livres, pois cada incógnita está associada a um pivô.
  2. A equação homogênea A\mathbf{x}=\mathbf{0} só admite a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}.
  3. Para qualquer vetor de termos constantes \mathbf{b}, a solução de A\mathbf{x}=\mathbf{b} é única.

Passo 4

Do teorema que relaciona posto máximo ao número de soluções, sabemos que se \mathrm{rank}(A) é igual ao número de incógnitas, então o sistema tem exatamente uma solução. Além disso, isso equivale a dizer que A é invertível, o que reforça a unicidade da solução.

Resposta

O sistema tem uma única solução porque a presença de um pivô em cada coluna garante \mathrm{rank}(A)=3, igual ao número de incógnitas, eliminando variáveis livres e tornando A invertível.

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