Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo cuja soma dos catetos é igual a 14 metros. Determine as dimensões do terreno de área máxima.

Passo 1

Resumindo o problema: temos um terreno em forma de triângulo retângulo cujos catetos somam 14 m, e queremos escolher esses catetos para que a área seja máxima. Vamos usar otimização de função com derivada.

Passo 2

Definimos os catetos como variáveis: seja x e y os comprimentos dos catetos. A área do triângulo é A = tfrac12xy e há a restrição x + y = 14. Para otimizar, vamos expressar A em função de uma única variável.
Usando a restrição, escrevemos y = 14 - x e substituímos na área:
A(x) = tfrac12 ;x,(14 - x) = 7x - tfrac12 x^2

Passo 3

Calculamos a derivada e achamos o ponto crítico:
A'(x) = 7 - x,
igualando a zero, 7 - x = 0 x = 7. Como A''(x) = -1 < 0, esse ponto é máximo.
Da restrição, y = 14 - 7 = 7. Portanto, os dois catetos devem medir 7 m cada para a área ser máxima. A área máxima é Amax = tfrac12 cdot 7 cdot 7 = tfrac492 m².

Resposta

Os catetos medem 7 m cada, garantindo a área máxima de tfrac492 m².

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