Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo cuja soma dos catetos é igual a 14 metros. Determine as dimensões do terreno de área máxima.
Passo 1
Resumindo o problema: temos um terreno em forma de triângulo retângulo cujos catetos somam 14 m, e queremos escolher esses catetos para que a área seja máxima. Vamos usar otimização de função com derivada.
Passo 2
Definimos os catetos como variáveis: seja
e
os comprimentos dos catetos. A área do triângulo é
e há a restrição
. Para otimizar, vamos expressar
em função de uma única variável.
Usando a restrição, escrevemos e substituímos na área:
Usando a restrição, escrevemos
Passo 3
Calculamos a derivada e achamos o ponto crítico:
igualando a zero,
dá
. Como
, esse ponto é máximo.
Da restrição, . Portanto, os dois catetos devem medir 7 m cada para a área ser máxima. A área máxima é
m².
Da restrição,
Resposta
Os catetos medem 7 m cada, garantindo a área máxima de
m².