O lucro diário de uma empresa em reais é l=-2 x^2+200 x-800, onde x é o número de artigos produzidos por dia. Quantos artigos devem ser produzidos para que o lucro seja máximo? Qual o lucro máximo?

Passo 1

O enunciado diz que o lucro diário é dado pela função quadrática l(x) = -2x^2 + 200x - 800, onde x é o número de artigos produzidos. O objetivo é descobrir para qual x esse lucro é máximo e qual é esse valor máximo.

Passo 2

Como l(x) é uma parábola com coeficiente principal a = -2 < 0, ela se abre para baixo e atinge um valor máximo no vértice. A fórmula do vértice para a abscissa é xv = -b2a, onde a e b são os coeficientes de x^2 e x na função. Aqui temos a = -2 e b = 200. Substituindo na fórmula do vértice:
xv = -2002 cdot (-2) = 2004 = 50

Passo 3

Agora que sabemos que o lucro é máximo quando x = 50 artigos, basta calcular l(50):
l(50) = -2 cdot 50^2 + 200 cdot 50 - 800 = -2 cdot 2500 + 10000 - 800 = -5000 + 10000 - 800 = 4200

Resposta

Produzindo 50 artigos o lucro é máximo, e esse lucro máximo é R$ 4.200.

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