Identifique se y assume um valor máximo ou mínimo, determine-o, e diga em que número real x0 este valor ocorre:
(c) y=2 x^2+3 x-2.

Passo 1

O enunciado pede pra gente olhar a função quadrática y = 2x^2 + 3x - 2, identificar se ela tem ponto de mínimo ou máximo, achar esse valor e o x0 onde ele ocorre. O conteúdo aqui é estudo de vértice de parábola e derivadas de funções polinomiais.

Passo 2

Pra encontrar o ponto crítico, calculamos a derivada de y em relação a x. A derivada é
dydx = 4x + 3
A condição de extremo é dydx = 0, então temos:
4x + 3 = 0 implies x0 = -34

Passo 3

Agora, para saber se é mínimo ou máximo, usamos a segunda derivada. Calculando:
d^2ydx^2 = 4
Como d^2ydx^2 = 4 > 0, a parábola é côncava para cima e o ponto em x0 é um mínimo.

Passo 4

Por fim, substituímos x0 = -tfrac34 em y = 2x^2 + 3x - 2 para achar o valor mínimo:
y(-tfrac34) = 2l(-tfrac34r)^2 + 3l(-tfrac34r) - 2 = 2cdottfrac916 - tfrac94 - 2 = tfrac98 - tfrac94 - 2 = -tfrac258

Passo 5

Então a função tem um valor mínimo igual a -tfrac258 que ocorre em x0 = -tfrac34.

Resposta

Mínimo igual a -tfrac258 em x0 = -tfrac34.

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