Usando apenas o comando rank, determine qual dos seguintes sistemas lineares é compatível.
\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 4 & -1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 \\\\ 3 & 1 & 1 & -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}21 \\\\ 8 \\\\ 16\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
A\,x = b
com
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & -1\\\\ 0 & 1 & 2 & 0\\\\ 3 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}21\\\ 8\\\ 16\end{pmatrix},
e pede para verificar compatibilidade usando o comando \rank. Lembre: o sistema é compatível se, e somente se,
\rank(A) \;=\;\rank\bigl(A\mid b\bigr).

Passo 2

Calcular \rank(A). Começamos com
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & -1\\\\ 0 & 1 & 2 & 0\\\\ 3 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
Eliminamos o elemento (3,1):
R_3 \leftarrow R_3 - 3\,R_1 \;\longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & -1\\\\ 0 & 1 & 2 & 0\\\\ 0 & -5 & -11 & 1 \end{pmatrix}.
Em seguida usamos R_2 para zerar o -5 em R_3:
R_3 \leftarrow R_3 + 5\,R_2 \;\longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & -1\\\\ 0 & 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Há três linhas não-nulas, logo
\rank(A) = 3.

Passo 3

Calcular \rank(A\mid b). Montamos a matriz aumentada
\bigl(A\mid b\bigr) = \left(\begin{array}{cccc|r} 1 & 2 & 4 & -1 & 21\\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 8\\\\ 3 & 1 & 1 & -2 & 16 \end{array}\right).
Fazemos as mesmas operações:
R_3 \leftarrow R_3 - 3\,R_1 \;\longrightarrow\; \left(\begin{array}{cccc|r} 1 & 2 & 4 & -1 & 21\\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 8\\\\ 0 & -5 & -11 & 1 & -47 \end{array}\right),
R_3 \leftarrow R_3 + 5\,R_2 \;\longrightarrow\; \left(\begin{array}{cccc|r} 1 & 2 & 4 & -1 & 21\\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 8\\\\ 0 & 0 & -1 & 1 & -7 \end{array}\right).
Também temos três linhas não-nulas, então
\rank(A\mid b) = 3.

Passo 4

Como
\rank(A) = 3 \quad\text{e}\quad \rank(A\mid b) = 3,
temos igualdade de postos, logo o sistema é compatível.

Resposta

O sistema é compatível (existe solução, na verdade uma família infinita de soluções, pois 4 incógnitas e posto 3).

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