Use o MATLAB para construir uma matriz
fazendo
(a) Por construção, a soma dos elementos de cada linha deveria ser zero. Para verificar isso, defina
ones
e use o MATLAB para calcular o produto
. A matriz
deveria ser singular. Por quê? Explique. Use as funções det e inv para calcular os valores
e
. Qual dessas funções do MATLAB é o indicador mais confiável de singularidade?
(b) Use o MATLAB para calcular
. Os valores calculados
e
são iguais? Uma outra maneira de verificar se uma matriz é singular é calcular sua forma escada reduzida por linhas. Use o MATLAB para calcular as formas escadas reduzidas por linhas de
e
.
(c) Faça
. O valor exato
deveria ser 0 . Por quê? Explique. Use o MATLAB para calcular
. O valor calculado do determinante é igual ou aproximadamente igual ao valor exato? Calcule a forma escada reduzida por linhas de
e verifique que a matriz é, de fato, singular.
(b) Use o MATLAB para calcular
(c) Faça
Passo 1
O enunciado manda construir em MATLAB a matriz
e depois substituir
Em seguida pede-se verificar que a soma de cada linha de
é zero, explicar por que
é singular, calcular
e
com as funções com
e se obtém as formas escada reduzidas de
e
. Finalmente (parte c) define-se
, explica-se por que
, calcula-se em MATLAB e obtém-se a forma escada reduzida de
.
det
e inv
, e dizer qual delas é indicador mais confiável de singularidade (parte a). Depois (parte b) compara-se
Passo 2
Definindo em MATLAB
calculamos
Como cada linha de
foi ajustada para que sua soma seja zero, obtemos
ou seja, o vetor de uns está no núcleo de
. Logo
e
, o que mostra que
é singular.
Passo 3
Em MATLAB usamos
O resultado numérico para
aparece como algo muito próximo de zero (por exemplo
ou menor), enquanto ao chamar com entradas extremamente grandes sem ser de fato o inverso exato. Destas duas, a função
inv(A)
o MATLAB ou emite um aviso de “matrix singular to working precision” ou retorna uma matriz
det
é o indicador mais claro de singularidade, pois exibe diretamente um valor (quase) zero; já inv
não falha imediatamente e seus valores podem enganar, então não é confiável para testar singularidade.Passo 4
Para a parte (b) calculamos em MATLAB
Em aritmética exata temos
, e numericamente os dois resultados coincidem até o erro de máquina (ambos são praticamente zero). Em seguida obtemos as formas escada reduzidas por linhas ( e
; ambas mostram posto igual a
(ou seja, uma linha nula), confirmando a mesma singularidade.
rref
) de
Passo 5
Para a parte (c) definimos
Como
, vale
, de modo que
exatamente. Em MATLAB o comando ), aproximando-se de zero devido ao erro de arredondamento. A forma escada reduzida de
também exibe posto
e evidencia uma linha nula, comprovando que
é singular.
det(B)
retorna um valor muito pequeno (por exemplo
Resposta
(a) A soma de cada linha de
é zero, logo
e
é singular. Em MATLAB
e
(b) Numericamente . As formas escada reduzidas de
e
mostram posto
, confirmando singularidade.
(c) Como , tem-se . MATLAB retorna também exibe posto
, comprovando que
é singular.
inv(A)
ou dá aviso de singularidade ou produz números gigantes. A função det
é o indicador mais confiável de singularidade.(b) Numericamente
(c) Como , tem-se
det(B)
muito próximo de zero, e a forma escada reduzida de