Use o MATLAB para construir uma matriz A fazendo
A=\operatorname{vander}(1: 6) ; \quad A=A-\operatorname{diag}\left(\operatorname{sum}\left(A^{\prime}\right)\right)
(a) Por construção, a soma dos elementos de cada linha deveria ser zero. Para verificar isso, defina \mathbf{x}= ones (6,1) e use o MATLAB para calcular o produto A \mathbf{x}. A matriz A deveria ser singular. Por quê? Explique. Use as funções det e inv para calcular os valores \operatorname{de} \operatorname{det}(A) e A^{-1}. Qual dessas funções do MATLAB é o indicador mais confiável de singularidade?
(b) Use o MATLAB para calcular \operatorname{det}\left(A^{T}\right). Os valores calculados \operatorname{de} \operatorname{det}(A) e \operatorname{det}\left(A^{T}\right) são iguais? Uma outra maneira de verificar se uma matriz é singular é calcular sua forma escada reduzida por linhas. Use o MATLAB para calcular as formas escadas reduzidas por linhas de A e A^{T}.
(c) Faça B=A * A^{\prime}. O valor exato \operatorname{de} \operatorname{det}(B) deveria ser 0 . Por quê? Explique. Use o MATLAB para calcular \operatorname{det}(B). O valor calculado do determinante é igual ou aproximadamente igual ao valor exato? Calcule a forma escada reduzida por linhas de B e verifique que a matriz é, de fato, singular.

Passo 1

O enunciado manda construir em MATLAB a matriz
A = \operatorname{vander}(1:6)
e depois substituir
A \leftarrow A - \operatorname{diag}\bigl(\operatorname{sum}(A')\bigr).
Em seguida pede-se verificar que a soma de cada linha de A é zero, explicar por que A é singular, calcular \det(A) e A^{-1} com as funções det e inv, e dizer qual delas é indicador mais confiável de singularidade (parte a). Depois (parte b) compara-se \det(A) com \det(A^T) e se obtém as formas escada reduzidas de A e A^T. Finalmente (parte c) define-se B = A\,A^T, explica-se por que \det(B)=0, calcula-se em MATLAB e obtém-se a forma escada reduzida de B.

Passo 2

Definindo em MATLAB
x = \mathrm{ones}(6,1),
calculamos
A\,x.
Como cada linha de A foi ajustada para que sua soma seja zero, obtemos
A\,x = 0,
ou seja, o vetor de uns está no núcleo de A. Logo \mathrm{nullity}(A)\ge1 e \det(A)=0, o que mostra que A é singular.

Passo 3

Em MATLAB usamos
d = \det(A), \quad Y = \inv(A).
O resultado numérico para d aparece como algo muito próximo de zero (por exemplo 10^{-16} ou menor), enquanto ao chamar inv(A) o MATLAB ou emite um aviso de “matrix singular to working precision” ou retorna uma matriz Y com entradas extremamente grandes sem ser de fato o inverso exato. Destas duas, a função det é o indicador mais claro de singularidade, pois exibe diretamente um valor (quase) zero; já inv não falha imediatamente e seus valores podem enganar, então não é confiável para testar singularidade.

Passo 4

Para a parte (b) calculamos em MATLAB
d_T = \det\bigl(A^T\bigr).
Em aritmética exata temos \det(A^T)=\det(A), e numericamente os dois resultados coincidem até o erro de máquina (ambos são praticamente zero). Em seguida obtemos as formas escada reduzidas por linhas (rref) de A e A^T; ambas mostram posto igual a 5 (ou seja, uma linha nula), confirmando a mesma singularidade.

Passo 5

Para a parte (c) definimos
B = A\,A^T.
Como \rk(A)<6, vale \rk(B)\le\rk(A)<6, de modo que \det(B)=0 exatamente. Em MATLAB o comando det(B) retorna um valor muito pequeno (por exemplo 10^{-30}), aproximando-se de zero devido ao erro de arredondamento. A forma escada reduzida de B também exibe posto 5 e evidencia uma linha nula, comprovando que B é singular.

Resposta

(a) A soma de cada linha de A é zero, logo A\,\mathbf{1}=0 e A é singular. Em MATLAB \det(A)\approx0 e inv(A) ou dá aviso de singularidade ou produz números gigantes. A função det é o indicador mais confiável de singularidade.
(b) Numericamente \det(A^T)=\det(A)\approx0. As formas escada reduzidas de A e A^T mostram posto 5, confirmando singularidade.
(c) Como \rk(B)\le\rk(A)<6, tem-se \det(B)=0. MATLAB retorna det(B) muito próximo de zero, e a forma escada reduzida de B também exibe posto 5, comprovando que B é singular.

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