Use o teorema fundamental do cálculo e as propriedades de integral para calcular as integrais abaixo:
\int_{1}^{2} \frac{x^{3}+x^{4}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \int_{1}^{2} \frac{x^{3}+x^{4}}{x}\,dx. Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e a propriedade de linearidade da integral, além de simplificar a expressão algébrica do integrando.

Passo 2

Simplificamos o integrando dividindo cada termo por x:
\frac{x^{3}+x^{4}}{x} = x^{2} + x^{3}.

Passo 3

Precisamos de uma antiderivada de x^{2}+x^{3}. Usando \displaystyle \int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, obtemos
F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{4}.

Passo 4

Pelo TFC,
\int_{1}^{2} (x^{2}+x^{3})\,dx = F(2) - F(1).
Calculamos
F(2) = \frac{2^{3}}{3} + \frac{2^{4}}{4} = \frac{8}{3} + 4 = \frac{20}{3},
F(1) = \frac{1^{3}}{3} + \frac{1^{4}}{4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}.
Logo,
F(2) - F(1) = \frac{20}{3} - \frac{7}{12} = \frac{80}{12} - \frac{7}{12} = \frac{73}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{73}{12}

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