Para quais valores reais das variáveis das operações abaixo serão válidas e produzirão números reais?
Passo 1
O exercício pede a gente analisar a seguinte cadeia de operações e descobrir para quais valores de x tudo faz sentido (não gera raiz de número negativo nem divisão por zero) e permanece real:.
Passo 2
O conteúdo principal é domínio de funções que envolvem raiz quadrada e propriedades de potências. Vamos precisar do fato de que
exige
e que, quando usamos a regra
, é preciso ter
(para não criar inconsistências de sinal).
Passo 3
A primeira expressão é
Aqui temos uma raiz quadrada no denominador. Para a raiz existir e não zerar o denominador, precisamos de
Passo 4
Em seguida reescrevemos como potências:
Para aplicar a regra de potências
precisamos que a base
seja estritamente positiva, ou seja,
Passo 5
Aplicando a subtração de expoentes, ficamos com
A expressão final
sozinha existe para
, isto é
.
Passo 6
No entanto, para que toda a sequência de transformações seja válida (isto é, todas as expressões intermediárias façam sentido ao mesmo tempo e a igualdade seja justa), devemos escolher os valores de x que satisfazem todas as restrições simultaneamente. O mais forte deles é
, pois garante raiz definida e denominador não nulo, e também base positiva para as regras de potência.
Passo 7
Portanto, a cadeia inteira de operações gera números reais e as igualdades são válidas exatamente quando
.
Resposta
x>1