Para quais valores reais das variáveis das operações abaixo serão válidas e produzirão números reais?
x-1raizx-1=(x-1)^1(x-1)^1 / 2=(x-1)^1-1 / 2=(x-1)^1 / 2=raizx-1

Passo 1

O exercício pede a gente analisar a seguinte cadeia de operações e descobrir para quais valores de x tudo faz sentido (não gera raiz de número negativo nem divisão por zero) e permanece real:.

Passo 2

O conteúdo principal é domínio de funções que envolvem raiz quadrada e propriedades de potências. Vamos precisar do fato de que raizy exige y>=0 e que, quando usamos a regra a^m/a^n=a^m-n, é preciso ter a>0 (para não criar inconsistências de sinal).

Passo 3

A primeira expressão é
x-1raizx-1
Aqui temos uma raiz quadrada no denominador. Para a raiz existir e não zerar o denominador, precisamos de
x-1>0 ;Rightarrow; x>1

Passo 4

Em seguida reescrevemos como potências:
(x-1)^1(x-1)^1/2
Para aplicar a regra de potências a^1/a^1/2=a^1-1/2 precisamos que a base x-1 seja estritamente positiva, ou seja,
x-1>0 ;Rightarrow; x>1

Passo 5

Aplicando a subtração de expoentes, ficamos com
(x-1)^1-1/2=(x-1)^1/2= raizx-1
A expressão final raizx-1 sozinha existe para x-1>=0, isto é x>=1.

Passo 6

No entanto, para que toda a sequência de transformações seja válida (isto é, todas as expressões intermediárias façam sentido ao mesmo tempo e a igualdade seja justa), devemos escolher os valores de x que satisfazem todas as restrições simultaneamente. O mais forte deles é x>1, pois garante raiz definida e denominador não nulo, e também base positiva para as regras de potência.

Passo 7

Portanto, a cadeia inteira de operações gera números reais e as igualdades são válidas exatamente quando x>1.

Resposta

x>1

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