Para que valores de m o sistema
l 3 x+2 y=1 4 x+m y=3 5 x+4 y=m éí

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com três equações e duas incógnitas
Queremos os valores de e exigir que a terceira seja satisfeita por esses valores, garantindo consistência e unicidade (posto das equações igual ao número de incógnitas, isto é, 2).

Passo 2

Usamos as duas primeiras equações. A matriz dos coeficientes dessas duas é
3 & 2 4 & m ,
cujo determinante é
De<a = 3m - 8
Para que elas definam uma única solução para (x,y), precisamos de De<a neq 0, ou seja,
m neq tfrac83

Passo 3

Aplicando a regra de Cramer às duas primeiras equações, temos
x = 1 & 23 & mDe<a = 1cdot m - 2cdot 33m - 8 = m - 63m - 8,
y = 3 & 14 & 3De<a = 3cdot 3 - 4cdot 13m - 8 = 9 - 43m - 8 = 53m - 8

Passo 4

Para garantir que o sistema completo seja consistente, esses (x,y) devem satisfazer a terceira equação 5x + 4y = m. Substituindo:
5l(tfracm - 63m - 8r) + 4l(tfrac53m - 8r) = m Longrightarrow 5m - 30 + 203m - 8 = m Longrightarrow 5m - 103m - 8 = m
Multiplicando ambos os lados por 3m - 8 e rearranjando, obtemos
5m - 10 = m(3m - 8) Longrightarrow 3m^2 - 13m + 10 = 0
Essa equação quadrática tem raízes
m = 13 pm raiz169 - 1206 = 13 pm 76,
ou seja,
m = 1 ou m = tfrac103

Passo 5

É preciso verificar que em m=1 e em m=tfrac103 temos De<a = 3m - 8 neq 0, o que de fato ocorre ( De<a=-5 em m=1 e De<a=2 em m=tfrac103). Logo, para esses valores de m o sistema é possível e determinado.

Resposta

m = 1 ou m = tfrac103.

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