Determinar os valores de k para os quais as retas r: k x+y+2=0 e s: 3 x-6 y-2=0 são concorrentes.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma geral
r: kx + y + 2 = 0
s: 3x - 6y - 2 = 0
Estamos em geometria analítica e queremos saber para quais valores de k essas retas se interceptam (ou seja, são concorrentes). Duas retas em R^2 são concorrentes se e somente se elas não forem paralelas, isto é, se suas inclinações (ou coeficientes diretores) forem diferentes.

Passo 2

Vamos escrever cada reta na forma “inclinação–ordenada” y = mx + b:
Para r:
kx + y + 2 = 0 Longrightarrow y = -,k,x ;-; 2,
logo a inclinação de r é
mr = -,k
Para s:
3x - 6y - 2 = 0 Longrightarrow -6y = -3x + 2 Longrightarrow y = 12,x ;-;13,
logo a inclinação de s é
ms = 12

Passo 3

Duas retas com inclinações mr e ms são paralelas se mr = ms. Aqui queremos evitar isso para que haja uma interseção única. Portanto impomos
mr neq ms Longrightarrow -,k neq 12 Longrightarrow k neq -12

Resposta

Todos os valores reais de k exceto
k = -12

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