Se \vec{a}=2 \vec{u}-\vec{v} e \vec{b}=3 \vec{u}+4 \vec{v}, provar que \vec{a} \wedge \vec{b} e \vec{u} \wedge \vec{v} são paralelos.

Passo 1

O enunciado dá
\vec a = 2\vec u - \vec v
\vec b = 3\vec u + 4\vec v
e pede para mostrar que \vec a \wedge \vec b e \vec u \wedge \vec v são paralelos.
O conteúdo usado será a bilinearidade do produto vetorial ( \wedge), a anticomutatividade e a propriedade \vec x\wedge\vec x=0.

Passo 2

Usando bilinearidade, expandimos
\vec a\wedge\vec b =(2\vec u - \vec v)\wedge(3\vec u + 4\vec v) =2\vec u\wedge 3\vec u \;+\;2\vec u\wedge 4\vec v\;-\;\vec v\wedge 3\vec u\;-\;\vec v\wedge 4\vec v.

Passo 3

Aplicando \alpha\vec x\wedge\beta\vec y=\alpha\beta\,\vec x\wedge\vec y, \vec x\wedge\vec x=0 e \vec v\wedge\vec u=-\vec u\wedge\vec v, obtemos
\vec a\wedge\vec b =6\,\vec u\wedge\vec u +8\,\vec u\wedge\vec v -3\,\vec v\wedge\vec u -4\,\vec v\wedge\vec v =0 +8\,\vec u\wedge\vec v -3(-\vec u\wedge\vec v)+0 =11\,\vec u\wedge\vec v.

Passo 4

Como \vec a\wedge\vec b =11\,\vec u\wedge\vec v, vemos que \vec a\wedge\vec b é múltiplo escalar de \vec u\wedge\vec v.

Resposta

\vec a\wedge\vec b = 11\,\vec u\wedge\vec v, logo são paralelos.

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