Verificar a posição relativa de t e γ nos casos:
t: x+y+1=0 e γ: x^2+y^2=2

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição relativa entre a reta t dada por
t:;x + y + 1 = 0
e o círculo gamma de equação
gamma:;x^2 + y^2 = 2
O conteúdo aqui é geometria analítica: vamos ver se a reta é secante (duas interseções), tangente (uma interseção) ou externa (nenhuma interseção) ao círculo. Para isso, precisamos do centro e do raio do círculo e da distância do centro à reta.

Passo 2

Identificamos o centro e o raio de gamma. A equação
x^2 + y^2 = 2
é um círculo de centro (0,0) e raio
r = raiz2

Passo 3

Para calcular a distância d do centro (0,0) à reta x+y+1=0, usamos a fórmula
d = l|A x0 + B y0 + Cr|raizA^2+B^2,
onde a reta está escrita como Ax + By + C = 0. Aqui A=1, B=1, C=1 e (x0,y0)=(0,0). Logo,
d = l|1cdot0 + 1cdot0 + 1r|raiz1^2 + 1^2 = 1raiz2

Passo 4

Comparamos d e r:
d = 1raiz2approx0,707 e r = raiz2approx1,414
Como d < r, a reta corta o círculo em dois pontos (é secante).

Resposta

A reta t é secante ao círculo gamma; elas se intersectam em dois pontos.

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