Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos A(7,10), B(-9,2) e C(9,-4).

Passo 1

O enunciado pede a circunferência que passa pelos pontos A(7,10), B(-9,2) e C(9,-4). Vamos usar geometria analítica: escrever a forma geral da circunferência
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
e determinar D, E e F impondo que A, B e C satisfaçam essa equação.

Passo 2

Substituindo A, B e C em x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 obtemos o sistema de três equações lineares em D,E,F:
49+100+7D+10E+F=0, 81+4-9D+2E+F=0, 81+16+9D-4E+F=0
Ou seja,
149+7D+10E+F=0, 85-9D+2E+F=0, 97+9D-4E+F=0

Passo 3

Para eliminar F, subtraímos a primeira da segunda e da terceira equação, gerando duas relações entre D e E:
(ii)-(i): (85-149)+(-9D-7D)+(2E-10E)=0;Longrightarrow;-64-16D-8E=0,
(iii)-(i): (97-149)+(9D-7D)+(-4E-10E)=0;Longrightarrow;-52+2D-14E=0
Simplificando cada uma:
-64-16D-8E=0;Longrightarrow;8+2D+E=0(Eq 1),
-52+2D-14E=0;Longrightarrow;-26+D-7E=0(Eq 2)

Passo 4

Da Eq. 1 isolamos
E=-2D-8
e substituímos na Eq. 2:
D-7(-2D-8)=26 ;Longrightarrow; D+14D+56=26 ;Longrightarrow; 15D=-30 ;Longrightarrow; D=-2
Logo
E=-2(-2)-8=4-8=-4

Passo 5

Voltando a qualquer equação original, por exemplo
149+7D+10E+F=0,
substituímos D=-2, E=-4:
149+7(-2)+10(-4)+F=0 ;Longrightarrow; 149-14-40+F=0 ;Longrightarrow; 95+F=0 ;Longrightarrow; F=-95

Passo 6

A forma geral da circunferência é
x^2+y^2-2x-4y-95=0
O centro (h,k) e o raio r vêm de
h=-D2=1, k=-E2=2,
r=raizh^2+k^2-F=raiz1^2+2^2-(-95)=raiz1+4+95=raiz100=10
Em forma canônica:
(x-1)^2+(y-2)^2=10^2

Resposta

A equação da circunferência é
boxed(x-1)^2+(y-2)^2=100

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