Verifique que se P é uma matriz de transição regular k times k tal que a soma das entradas de cada linha é 1, então as entradas do vetor de estado estacionário são todas iguais a 1 / k.

Passo 1

O enunciado considera uma matriz de transição regular PinR^ktimes k cujas linhas somam 1, ou seja, para todo i
sumj=1^k Pi j=1
Queremos mostrar que o vetor de estado estacionário pi — definido por
P,pi=pi, sumi=1^kpii=1, pii>=0
— tem todas as componentes iguais a 1/k.

Passo 2

Defina o vetor e=(1,1,dots,1)^TinR^k. Vamos verificar que
P,e=e
De fato, para cada componente i do produto Pe vale
l(Per)i =sumj=1^k Pi j,ej =sumj=1^k Pi j =1,
portanto l(Per)i=1=ei e assim Pe=e.

Passo 3

Do resultado Pe=e vemos que e é um autovetor de P associado ao autovalor 1. Como P é regular, o Teorema de Perron–Frobenius garante que esse autovalor é simples e que o espaço de autovetores associados a 1 é unidimensional. Logo, qualquer solução pi de
P,pi=pi
é um múltiplo escalar de e, isto é, existe cinR tal que
pi=c,e =(c,c,dots,c)^T

Passo 4

Impondo a condição de normalização sumi=1^kpii=1, obtemos
sumi=1^kpii =sumi=1^k c =kc =1 Longrightarrow c=1k
Portanto
pi =1k,(1,1,dots,1)^T,
ou seja, pii=1/k para todo i.

Resposta

As entradas do vetor de estado estacionário são todas iguais a 1/k.

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