Verifique que se
é uma matriz de transição regular
tal que a soma das entradas de cada linha é 1, então as entradas do vetor de estado estacionário são todas iguais a
.
Passo 1
O enunciado considera uma matriz de transição regular
cujas linhas somam 1, ou seja, para todo
Queremos mostrar que o vetor de estado estacionário
— definido por
— tem todas as componentes iguais a
.
Passo 2
Defina o vetor
. Vamos verificar que
De fato, para cada componente
do produto
vale
portanto
e assim
.
Passo 3
Do resultado
vemos que
é um autovetor de
associado ao autovalor 1. Como
é regular, o Teorema de Perron–Frobenius garante que esse autovalor é simples e que o espaço de autovetores associados a 1 é unidimensional. Logo, qualquer solução
de
é um múltiplo escalar de
, isto é, existe
tal que
Passo 4
Impondo a condição de normalização
, obtemos
Portanto
ou seja,
para todo
.
Resposta
As entradas do vetor de estado estacionário são todas iguais a
.