Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
é ímpar }); adição
Passo 1
O enunciado pergunta se o par
, em que
e a operação é a adição usual, forma um grupo. Para isso precisamos verificar os quatro axiomas de grupo:
- fechamento,
- associatividade,
- existência de elemento neutro,
- existência de inversos.
Passo 2
Verificamos o fechamento: em um grupo, a soma de dois elementos de
deve pertencer a
. Se tomarmos, por exemplo,
, então
porém
é par, logo
. Assim o conjunto não é fechado sob adição.
Passo 3
Mesmo sem o fechamento, podemos checar o elemento neutro: na adição o neutro em
é
, mas
é par, então
. Logo não há elemento neutro em
.
Passo 4
Como falta o fechamento e não existe neutro em
, não precisamos (mas poderíamos) checar inversos: já falhamos em dois axiomas essenciais, portanto
não é grupo.
Resposta
Nenhum:
não é grupo em relação à adição.