Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada?
B=x in Z mid x é ímpar }); adição

Passo 1

O enunciado pergunta se o par (B,,+), em que
B = ,xinZmid x é ímpar éí
e a operação é a adição usual, forma um grupo. Para isso precisamos verificar os quatro axiomas de grupo:
  1. fechamento,
  2. associatividade,
  3. existência de elemento neutro,
  4. existência de inversos.

Passo 2

Verificamos o fechamento: em um grupo, a soma de dois elementos de B deve pertencer a B. Se tomarmos, por exemplo, 3,5in B, então
3+5 = 8,
porém 8 é par, logo 8notin B. Assim o conjunto não é fechado sob adição.

Passo 3

Mesmo sem o fechamento, podemos checar o elemento neutro: na adição o neutro em Z é 0, mas 0 é par, então 0notin B. Logo não há elemento neutro em B.

Passo 4

Como falta o fechamento e não existe neutro em B, não precisamos (mas poderíamos) checar inversos: já falhamos em dois axiomas essenciais, portanto (B,,+) não é grupo.

Resposta

Nenhum: B não é grupo em relação à adição.

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