Dependência Linear no Projeto de Estruturas) Uma engenheira civil está projetando uma estrutura composta por três vigas cujas forças internas podem ser descritas pelos vetores , e :
Determine se as forças nas vigas são linearmente independentes. Caso não sejam, encontre a relação de dependência linear entre os vetores. Em termos da estabilidade da construção, o que isto poderia significar?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se as forças nas três vigas são linearmente independentes. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar analisar se existe uma combinação linear das forças que resulta no vetor zero. Se não existir, as forças são independentes; se existir, elas são dependentes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever os vetores das forças:
f1 = 10 20 15 , f2 = 5 15 10 , f3 = 15 35 25
Queremos saber se existe uma combinação linear desses vetores que iguala ao vetor zero:
c1 f1 + c2 f2 + c3 f3 = 0
Onde c1, c2, c3 são constantes.
Passo 3
Vamos montar o sistema de equações a partir da combinação linear:
Percebemos que as equações (4) e (5) são iguais, portanto, temos uma equação a menos que o número de incógnitas. Isso indica que existe uma solução não trivial.
Passo 7
Vamos usar a equação c2 + c3 = 0 para expressar c2 :
Podemos escolher c3 como parâmetro livre. Vamos chamar c3 = t .
Então:
c1 = -t c2 = -t c3 = t
Passo 9
A relação de dependência linear encontrada é:
-t f1 - t f2 + t f3 = 0 Rightarrow f3 = f1 + f2
Isso mostra que o vetor f3 é uma combinação linear de f1 e f2 , ou seja, não é independente desses vetores.
Resposta
As forças nas três vigas não são linearmente independentes, pois existe a relação f3 = f1 + f2 . Em termos de estabilidade da construção, isso significa que uma das vigas (no caso, a terceira) não contribui de forma única para a estrutura, podendo indicar redundância ou possível fragilidade na estabilidade da construção.