Combinação Linear de Propriedades de Materiais) Uma engenheira de materiais está estudando as propriedades de três diferentes tipos de ligas metálicas A, B e C. As propriedades mecânicas desses materiais podem ser representadas pelos vetores:
vA=[c 150 200 50 ], vB=[c 100 250 75 ], vC=[c 200 180 60 ]
Onde os componentes dos vetores representam, respectivamente, resistência à tração (MPa), dureza (Brinell), e resistência ao impacto (J / cm^2). A engenheira deseja saber se é possível combinar linearmente as propriedades dessas ligas para obter um novo material com propriedades descritas pelo vetor:
vD=[c 180 220 65 ]
Determine se o vetor vD é uma combinação linear de vA, vB, e vC.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos três tipos de ligas metálicas, representadas pelos vetores vA, vB e vC. Cada vetor descreve propriedades mecânicas como resistência à tração, dureza e resistência ao impacto. A engenheira quer saber se é possível combinar essas três ligas de forma que suas propriedades resultantes correspondam ao vetor vD. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear de vetores e resolver um sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que é combinação linear. Uma combinação linear de vetores vA, vB e vC significa que podemos encontrar coeficientes a, b e c tais que:
vD = avA + bvB + cvC
Isso nos leva a um sistema de três equações com três incógnitas.

Passo 3

Vamos escrever as componentes dos vetores na equação acima:
180 = 150a + 100b + 200c 220 = 200a + 250b + 180c 65 = 50a + 75b + 60c
Agora, temos um sistema linear que podemos resolver para encontrar os valores de a, b e c.

Passo 4

Vamos resolver o sistema usando o método da substituição ou eliminação. Primeiro, vamos simplificar as equações para facilitar os cálculos. Por exemplo, podemos dividir a primeira equação por 10:
18 = 15a + 10b + 20c (Equação 1) çã
A segunda equação pode ser mantida como está:
220 = 200a + 250b + 180c (Equação 2) çã
E a terceira equação também:
65 = 50a + 75b + 60c (Equação 3) çã

Passo 5

Agora, vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, expressamos uma variável em termos das outras a partir da Equação 1. Por exemplo, podemos resolver para a:
15a = 18 - 10b - 20c a = 18 - 10b - 20c15 a = 6 - 103b - 203c5
Agora, substituímos essa expressão de a nas Equações 2 e 3 para eliminar a.

Passo 6

Substituindo a na Equação 2:
220 = 200(18 - 10b - 20c15) + 250b + 180c 220 = 200 times 1815 - 200 times 10b15 - 200 times 20c15 + 250b + 180c 220 = 240 - 2000b15 - 4000c15 + 250b + 180c
Simplificando os termos:
220 = 240 - 4003b - 8003c + 250b + 180c
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar as frações:
660 = 720 - 400b - 800c + 750b + 540c 660 = 720 + 350b - 260c
Subtraindo 720 de ambos os lados:
-60 = 350b - 260c (Equação 4) çã

Passo 7

Agora, substituímos a na Equação 3:
65 = 50(18 - 10b - 20c15) + 75b + 60c 65 = 90015 - 500b15 - 1000c15 + 75b + 60c 65 = 60 - 100b3 - 200c3 + 75b + 60c
Multiplicando todos os termos por 3:
195 = 180 - 100b - 200c + 225b + 180c 195 = 180 + 125b - 20c
Subtraindo 180 de ambos os lados:
15 = 125b - 20c (Equação 5) çã

Passo 8

Agora temos um sistema com duas equações (Equação 4 e Equação 5):
-60 = 350b - 260c 15 = 125b - 20c
Podemos simplificar essas equações dividindo por 5:
-12 = 70b - 52c 3 = 25b - 4c

Passo 9

Vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis, por exemplo, c:
3 = 25b - 4c 4c = 25b - 3 c = 25b - 34
Agora, substituímos essa expressão de c na primeira equação:
-12 = 70b - 52(25b - 34) -12 = 70b - 13(25b - 3) -12 = 70b - 325b + 39 -12 = -255b + 39
Subtraindo 39 de ambos os lados:
-51 = -255b b = -51-255 b = 51255 = 1785 approx 0,2

Passo 10

Agora que temos o valor de b, substituímos de volta para encontrar c:
c = 25b - 34 c = 25 times 1785 - 34 c = 5 - 34 c = 24 c = 0,5

Passo 11

Com os valores de b e c, agora encontramos a usando a expressão obtida no Passo 5:
a = 18 - 10b - 20c15 a = 18 - 10 times 1785 - 20 times 0,515 a = 18 - 2 - 1015 a = 615 a = 0,4

Resposta

Sim, é possível combinar linearmente as ligas A, B e C para obter a liga D. Os coeficientes são:
a = 0,4, b = 0,2, c = 0,5

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