Combinação Linear de Propriedades de Materiais) Uma engenheira de materiais está estudando as propriedades de três diferentes tipos de ligas metálicas e . As propriedades mecânicas desses materiais podem ser representadas pelos vetores:
Onde os componentes dos vetores representam, respectivamente, resistência à tração (MPa), dureza (Brinell), e resistência ao impacto (J / cm^2). A engenheira deseja saber se é possível combinar linearmente as propriedades dessas ligas para obter um novo material com propriedades descritas pelo vetor:
vD=[c 180 220 65 ]
Determine se o vetor vD é uma combinação linear de vA, vB, e vC.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos três tipos de ligas metálicas, representadas pelos vetores vA, vB e vC. Cada vetor descreve propriedades mecânicas como resistência à tração, dureza e resistência ao impacto. A engenheira quer saber se é possível combinar essas três ligas de forma que suas propriedades resultantes correspondam ao vetor vD. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear de vetores e resolver um sistema de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, entendamos o que é combinação linear. Uma combinação linear de vetores vA, vB e vC significa que podemos encontrar coeficientes a, b e c tais que:
vD = avA + bvB + cvC
Isso nos leva a um sistema de três equações com três incógnitas.
Passo 3
Vamos escrever as componentes dos vetores na equação acima:
Agora, temos um sistema linear que podemos resolver para encontrar os valores de a, b e c.
Passo 4
Vamos resolver o sistema usando o método da substituição ou eliminação. Primeiro, vamos simplificar as equações para facilitar os cálculos. Por exemplo, podemos dividir a primeira equação por 10:
18 = 15a + 10b + 20c (Equação 1) çã
A segunda equação pode ser mantida como está:
220 = 200a + 250b + 180c (Equação 2) çã
E a terceira equação também:
65 = 50a + 75b + 60c (Equação 3) çã
Passo 5
Agora, vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, expressamos uma variável em termos das outras a partir da Equação 1. Por exemplo, podemos resolver para a: