Em algum lugar da cidade, a concentração de ozônio no ar L(t), é de 0,25 parte por milhão (ppm) às 7:00h. De acordo com o Cepagri (Centro de pesquisas meteorológicas e climáticas aplicadas à agricultura), a concentração de ozônio t horas mais tarde variará à razão de
L^{\prime}(t)=\frac{0,24-0,03 t}{\sqrt{36+16 t-t^{2}}} partes por milhão por hora (p p m / h)
a) Expresse a concentração de ozônio, L(t), em função de t.
b) Em que instante a concentração de ozônio é máxima?

Passo 1

O enunciado dá a taxa de variação da concentração de ozônio L(t) em ppm por hora como
L'(t)=\frac{0,24-0,03\,t}{\sqrt{36+16\,t-t^{2}}}
e informa que L(0)=0,25 ppm às 7:00 h. O conteúdo aqui é integração de derivada conhecida e, depois, otimização de função para achar o instante de máximo.

Passo 2

Vamos reescrever
0,24-0,03\,t = 0,03\,(8 - t).
Note que a derivada de u(t)=36+16t - t^2 é
u'(t)=16 - 2t = 2\,(8 - t),
logo
\frac{8 - t}{\sqrt{36+16t - t^2}} =\frac{1}{2}\,\frac{u'(t)}{\sqrt{u(t)}} =\frac{d}{dt}\bigl(\sqrt{u(t)}\bigr).
Portanto
L'(t) =0,03\,\frac{8 - t}{\sqrt{36+16t - t^2}} =0,03\,\frac{d}{dt}\bigl(\sqrt{36+16t - t^2}\bigr).
Integrando ambos os lados em relação a t, obtemos
L(t)=0,03\,\sqrt{36+16t - t^2}+C.

Passo 3

Usamos a condição inicial L(0)=0,25. Em t=0:
L(0)=0,03\sqrt{36}+C=0,03\cdot6 + C =0,18 + C =0,25,
logo C=0,07. Assim
L(t)=0,03\,\sqrt{36+16t - t^2}+0,07\quad\text{(ppm)}.

Passo 4

Para achar o instante de máximo de L(t) em [0,18] (onde 36+16t - t^2\ge0), basta maximizar o radicando
f(t)=36+16t - t^2,
que é uma parábola com vértice em t=\frac{16}{2}=8. Logo f (e, consequentemente, L) tem seu valor máximo em t=8 horas após as 7:00 h, isto é, às 15:00 h.

Resposta

a) \displaystyle L(t)=0,03\,\sqrt{36+16t - t^2}+0,07 ppm.
b) A concentração é máxima em t=8 horas depois das 7:00 h (ou seja, às 15:00 h).

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