Em algum lugar da cidade, a concentração de ozônio no ar
, é de 0,25 parte por milhão (ppm) às 7:00h. De acordo com o Cepagri (Centro de pesquisas meteorológicas e climáticas aplicadas à agricultura), a concentração de ozônio
horas mais tarde variará à razão de
partes por milhão por hora
a) Expresse a concentração de ozônio,
, em função de
.
b) Em que instante a concentração de ozônio é máxima?
a) Expresse a concentração de ozônio,
b) Em que instante a concentração de ozônio é máxima?
Passo 1
O enunciado dá a taxa de variação da concentração de ozônio
em ppm por hora como
e informa que
ppm às 7:00 h. O conteúdo aqui é integração de derivada conhecida e, depois, otimização de função para achar o instante de máximo.
Passo 2
Vamos reescrever
Note que a derivada de
é
logo
Portanto
Integrando ambos os lados em relação a
, obtemos
Passo 3
Usamos a condição inicial
. Em
:
logo
. Assim
Passo 4
Para achar o instante de máximo de
em
(onde
), basta maximizar o radicando
que é uma parábola com vértice em
. Logo
(e, consequentemente,
) tem seu valor máximo em
horas após as 7:00 h, isto é, às 15:00 h.
Resposta
a)
ppm.
b) A concentração é máxima em horas depois das 7:00 h (ou seja, às 15:00 h).
b) A concentração é máxima em