Por meio das propriedades, calcule as seguintes integrais diretas:
d) \int \frac{x^{2}+3 x-2}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral direta
\int \frac{x^{2}+3x-2}{\sqrt{x}}\;dx
usando propriedades de linearidade e a regra de potência para integrais. Vamos reescrever em termos de potências de x.

Passo 2

Como \sqrt{x}=x^{1/2}, dividimos cada termo do numerador por x^{1/2}:
\frac{x^{2}}{x^{1/2}}+3\,\frac{x}{x^{1/2}}-2\,\frac{1}{x^{1/2}} =x^{2-\tfrac12}+3\,x^{1-\tfrac12}-2\,x^{0-\tfrac12} =x^{\tfrac32}+3\,x^{\tfrac12}-2\,x^{-\tfrac12}.

Passo 3

Pela linearidade,
\int \frac{x^{2}+3x-2}{\sqrt{x}}\;dx =\int x^{\tfrac32}\,dx +3\int x^{\tfrac12}\,dx -2\int x^{-\tfrac12}\,dx.

Passo 4

Aplicando a regra de potência \displaystyle\int x^{k}\,dx=\frac{x^{k+1}}{k+1}:
\int x^{\tfrac32}\,dx =\frac{x^{\tfrac52}}{\tfrac52} =\frac{2}{5}\,x^{\tfrac52}, \quad \int x^{\tfrac12}\,dx =\frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32} =\frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}, \quad \int x^{-\tfrac12}\,dx =\frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12} =2\,x^{\tfrac12}.
Multiplicando pelos coeficientes:
3\cdot\frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}=2\,x^{\tfrac32}, \quad -2\cdot\bigl(2\,x^{\tfrac12}\bigr)=-4\,x^{\tfrac12}.

Passo 5

Somando tudo e acrescentando a constante de integração C, obtemos
\frac{2}{5}\,x^{\tfrac52} +2\,x^{\tfrac32} -4\,x^{\tfrac12} + C.

Resposta

\boxed{\int \frac{x^{2}+3x-2}{\sqrt{x}}\,dx =\frac{2}{5}\,x^{\tfrac52} +2\,x^{\tfrac32} -4\,x^{\tfrac12} + C.}

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