Um vazamento de petróleo no oceano Atlântico (muito em moda hoje em dia) produz uma mancha aproximadamente circular de raio R(t) m, onde t é o tempo em minutos após o início do vazamento. A mancha (o raio) está aumentando a uma taxa de R^{\prime}(t)=\frac{21}{0,07 t+5} \mathrm{~m} / \mathrm{min}.
a) Determine uma expressão para o raio R(t), supondo R(0)=0.
b) Qual é a área da mancha após 1 hora?

Passo 1

O enunciado diz que o raio da mancha cresce segundo
R'(t)=\frac{21}{0,07\,t+5}\quad\text{m/min}
com t em minutos e condição inicial R(0)=0.
Vamos integrar essa taxa para obter R(t) e depois calcular a área A(t)=\pi [R(t)]^2 em t=60 min.

Passo 2

Integramos
R'(t)=\frac{21}{0,07\,t+5}
fazendo a substituição u=0,07\,t+5, du=0,07\,dt. Então
R(t)=\int_{0}^{t}R'(s)\,ds =\int_{u=5}^{0,07t+5}\frac{21}{u}\,\frac{du}{0,07} =\frac{21}{0,07}\bigl[\ln(u)\bigr]_{5}^{0,07t+5} =300\bigl(\ln(0,07t+5)-\ln5\bigr).

Passo 3

Simplificando, obtemos
R(t)=300\ln\!\Bigl(\frac{0,07\,t+5}{5}\Bigr) \quad\text{(em metros)}.
Para t=60 min,
R(60)=300\ln\!\Bigl(\frac{0,07\cdot60+5}{5}\Bigr) =300\ln\!\bigl(1,84\bigr)\approx300\cdot0,6098\approx182{,}9\text{ m}.
Logo a área após 1 h é
A(60)=\pi\bigl[R(60)\bigr]^2 \approx\pi\,(182{,}9)^2\approx1{,}05\times10^5\text{ m}^2.

Resposta

(a) R(t)=300\ln\!\left(\frac{0,07\,t+5}{5}\right).\n(b) A(60)\approx1,05\times10^{5}\text{ m}^2.

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