Interprete e calcule as integrais definidas abaixo em termos da área abaixo de uma curva:
a) \int_{1}^{3} 2 x-2 d x

Passo 1

O enunciado pede para interpretar e calcular a integral definida
\int_{1}^{3}(2x-2)\,dx
em termos da área sob a curva de f(x)=2x-2 entre x=1 e x=3.

Passo 2

Primeiro, identificamos a região no plano: a reta y=2x-2 intercepta o eixo x em x=1 (pois 2\cdot1-2=0) e atinge o valor y=4 em x=3 (pois 2\cdot3-2=4). Então a área procurada é a de um trapézio com bases
b_1 = f(1)=0,\quad b_2 = f(3)=4
e altura h = 3-1 = 2.

Passo 3

A área do trapézio é
A = h\;\frac{b_1 + b_2}{2} = 2\;\frac{0 + 4}{2} = 4.

Passo 4

Para confirmar, usamos a antiderivada de 2x-2:
F(x) = \int(2x-2)\,dx = x^2 - 2x + C.
Então
\int_{1}^{3}(2x-2)\,dx = \bigl[x^2-2x\bigr]_{1}^{3} = \bigl(9-6\bigr) - \bigl(1-2\bigr) = 3 - (-1) = 4.

Resposta

\displaystyle 4

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