a) Alguma das funções trigonométricas sen x, cos x, tg x, cotg x, sec x ou cossec x tem assíntotas horizontais?
b) Alguma das funções trigonométricas do item a) tem assíntotas verticais?

Passo 1

O enunciado lista as funções trigonométricas
sin x,;cos x,;tan x,;cot x,;sec x,;csc x
e pergunta se alguma delas possui
– assíntota horizontal (linha y=L tal que limxtopminftyf(x)=L),
– assíntota vertical (reta x=a tal que limxto af(x)=pminfty).

Passo 2

Para haver assíntota horizontal y=L, precisamos que o limite de f(x) quando xto+infty ou xto-infty exista e seja um número finito L.
Analisando cada função quanto ao comportamento em infinito:
  • sin x e cos x são funções periódicas que oscilam entre -1 e 1, portanto
    limxtopminftysin x e limxtopminftycos x não existem.
  • tan x,;cot x,;sec x,;csc x também não se aproximam de um mesmo valor finito quando xtopminfty, pois ou oscilam entre pminfty em cada período ou não têm limite.
    Logo, nenhuma delas tem assíntota horizontal.

Passo 3

Para haver assíntota vertical em x=a, basta que f(x) tenda a pminfty quando x se aproxima de a.
tan x=sin xcos x e sec x=1cos x ficam verticais sempre que cos x=0, ou seja
x = pi2 + kpi, kinZ
cot x=cos xsin x e csc x=1sin x ficam verticais sempre que sin x=0, isto é
x = kpi, kinZ

Resposta

a) Nenhuma das funções listadas tem assíntota horizontal.
b) As funções tan x e sec x têm assíntotas verticais em
x = tfracpi2 + kpi,
e as funções cot x e csc x têm assíntotas verticais em
x = kpi,
onde kinZ.

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