Calcule o limite, se existir.
A) lim x 1 x^2-1x-1
B) lim x 3 x^2-4 x+3x^2-x-6
C) lim x 12 2 x^2+5 x-32 x^2-5 x+2
D) lim x 1 x^3-3 x^2+6 x-4x^3-4 x^2+8 x-5
E) lim x -1 x^4-x^3-x^2+5 x+4x^3-4 x^2+5 x+2
F) lim x 1 raizx+3-2x-1
G) lim x 1 raiz2 x-raizx+1x-1
H) lim x 6 4-raiz10+x2-raiz10-x
  1. lim x 0 raiz[3]x+1-1x
    J) lim x 64 raizx-8raiz[3]x-4
    K) lim x 1 x^4-1x^3-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular vários limites do tipo “ 0/0” envolvendo funções racionais e radicais. O conteúdo principal é: fatoração de polinômios, técnica do conjugado para radicais e, quando convier, interpretação via derivadas (caso das raízes).

Passo 2

Primeiro tratamos os limites de funções racionais que dão forma indeterminada tfrac00. Em todos eles fatoramos numerador e denominador para cancelar o fator comum:
A) limxto1x^2-1x-1 ;x^2-1=(x-1)(x+1), logo
x^2-1x-1=(x-1)(x+1)x-1=x+1Longrightarrow 1+1=2
B) limxto3x^2-4x+3x^2-x-6 x^2-4x+3=(x-1)(x-3), x^2-x-6=(x-3)(x+2), daí
x^2-4x+3x^2-x-6=x-1x+2Longrightarrow3-13+2=25
C) limxto122x^2+5x-32x^2-5x+2 2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3), 2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2), assim
2x^2+5x-32x^2-5x+2=x+3x-2Longrightarrowtfrac12+3tfrac12-2=tfrac72-tfrac32=-73
D) limxto1x^3-3x^2+6x-4x^3-4x^2+8x-5
Divide por (x-1) via soma sintética: numerador quotient x^2-2x+4, denominador x^2-3x+5. Logo
x^3-3x^2+6x-4x^3-4x^2+8x-5=x^2-2x+4x^2-3x+5g|x=1=1-2+41-3+5=33=1
E) limxto-1x^4-x^3-x^2+5x+4x^3-4x^2+5x+2
No numerador x=-1 zera, no denominador dá -1-4-5+2=-8neq0. Logo o limite é
0-8=0
K) limxto1x^4-1x^3-1 x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1), x^3-1=(x-1)(x^2+x+1), cancelando x-1:
(x+1)(x^2+1)x^2+x+1|x=1=2cdot21+1+1=43

Passo 3

Agora os limites que envolvem radicais. Usamos a técnica do conjugado ou então a derivada na forma de cociente de taxas de variação:
F) limxto1raizx+3-2x-1
Multiplica-se por raizx+3+2:
raizx+3-2x-1cdotraizx+3+2raizx+3+2 =x+3-4(x-1)(raizx+3+2) =x-1(x-1)(raizx+3+2) =1raizx+3+2|x=1=14
G) limxto1raiz2x-raizx+1x-1
Conjugado raiz2x+raizx+1:
2x-(x+1)(x-1)(raiz2x+raizx+1) =x-1(x-1)(raiz2x+raizx+1) =1raiz2x+raizx+1|x=1 =12raiz2 =raiz24
H) limxto64-raiz10+x2-raiz10-x
Usando expansão linear (ou conjugados sucessivos), obtém-se
-1/81/4=-tfrac12
1) limxto0raiz[3]x+1-1x
Seja a=raiz[3]x+1, então a^3-1=x e
a-1x=a-1a^3-1=1a^2+a+1|x=0=11+1+1=13
J) limxto64raizx-8raiz[3]x-4
Pela regra de L’Hôpital equivalente à razão das derivadas:
tfrac12raizxtfrac13x^2/3g|x=64 =1/161/48=3

Resposta

A) 2
B) tfrac25
C) -tfrac73
D) 1
E) 0
F) tfrac14
G) tfracraiz24
H) -tfrac12 1) tfrac13
J) 3
K) tfrac43

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