Algumas das afirmações abaixo são falsas (F) e outras são verdadeiras (V). Em todas elas, a, b, c, d são inteiros não nulos. Argumente convenientemente para verificar quais são (V) e quais são (F).
a \mid c e b \mid d então (a+b) \mid(c+d).

Passo 1

O enunciado pergunta se, dados inteiros não nulos a,b,c,d tais que a\mid c e b\mid d, podemos concluir que (a+b)\mid(c+d). O conteúdo usado será a definição de divisibilidade e manipulação algébrica para verificar se essa conclusão vale em geral.

Passo 2

Pela definição de divisibilidade,
  • a\mid c implica que existe k\in\mathbb{Z} com
c = a\,k,
  • b\mid d implica que existe l\in\mathbb{Z} com
d = b\,l.
Assim
c + d = a\,k + b\,l.

Passo 3

Queremos testar se (a+b)\mid(c+d), ou seja, se existe algum inteiro m tal que
a\,k + b\,l = (a+b)\,m.
Note que
a\,k + b\,l = k(a+b) + b(l - k).
Logo, (a+b)\mid(c+d) se, e somente se,
(a+b)\;\bigm|\;b\,(l - k).
Como a e b são quaisquer inteiros não nulos, não há garantia de que (a+b) divida b(l-k) em todo caso. Logo a afirmação não vale em geral.

Passo 4

Basta então um contraexemplo. Tome
a=2,\quad b=3,\quad c=4,\quad d=9.
Vê-se que 2\mid4 e 3\mid9, mas
a+b = 5,\quad c+d = 13,
e 5 não divide 13.

Resposta

F

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