Questão 5.
Valor: 2 pt
Enunciado. Determine:
(b) o divergente do campo vetorial.
Sendo:
\mathbf{F}(x, y, z)=x y e^{z} \mathbf{i}+0 \mathbf{j}+y z e^{x} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede o divergente do campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=x\,y\,e^{z}\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+y\,z\,e^{x}\,\mathbf{k}.
Esse é um problema de cálculo vetorial: o divergente mede a taxa de “saída” do campo em cada ponto. Para resolver, vamos usar a definição
\nabla\!\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z}.

Passo 2

Identificamos as componentes de \mathbf{F}:
F_{1}(x,y,z)=x\,y\,e^{z},\quad F_{2}(x,y,z)=0,\quad F_{3}(x,y,z)=y\,z\,e^{x}.
Assim
\nabla\!\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_{1}}{\partial x} +\frac{\partial F_{2}}{\partial y} +\frac{\partial F_{3}}{\partial z}.

Passo 3

Calculemos
\frac{\partial F_{1}}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y\,e^{z}\bigr) =y\,e^{z},
pois y e z são tratados como constantes ao derivar em relação a x.

Passo 4

Temos
\frac{\partial F_{2}}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(0)=0,
e
\frac{\partial F_{3}}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(y\,z\,e^{x}\bigr) =y\,e^{x},
já que y e e^{x} são constantes ao derivar em relação a z.

Passo 5

Somando os termos:
\nabla\!\cdot\mathbf{F} =y\,e^{z}+0+y\,e^{x} =y\,e^{z}+y\,e^{x}.

Resposta

\nabla\!\cdot\mathbf{F}=y\,e^{z}+y\,e^{x}.

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