Algumas EDOs de segunda ordem com coeficientes não-constantes podem ser resolvidas com o auxílio de uma mudança de variáveis. É o caso da equação t^2 y'' + alpha t y' + beta y = 0, onde alpha, beta in R e t > 0. Neste exercício iremos aprender a resolver a equação acima, que é genericamente conhecida como equação de Euler:
(a) Faça a substituição x = ln(t) e calcule d y / d t e d² y / d² termos de d y/d x e d^2 y/d x^2.
(b) Usando os resultados do item (a), mostre que a EDO original é equivalente a * d^2y/dx^2 + (alpha - 1) * dy/dx + beta * y = 0 . Repare que essa é uma equação com coeficientes constantes e, portanto, fácil de ser resolvida. Após resolvê-la e encontrar sua solução geral, fazemos novmente a transformação x = ln(t) para encontrarmos a solução geral em termos da variável original t.
© Utilizando o método descrito acima, resolva:
(c.1) t^2 y'' + t y' + y = 0,
(c.2) t^2 y'' + 3 t y' + 5/4 y = 0,
(c.3) t^2 y'' - 4 t y' - 6 y = 0,
(c.4) t^2 y'' + 5 t y' + 4 y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de segunda ordem, especificamente a Equação de Euler:
Aqui, alpha e beta são números reais, e . Para resolver essa equação, vamos usar uma mudança de variável, substituindo . Isso vai transformar a equação original em uma com coeficientes constantes, que é mais fácil de resolver. Vamos precisar calcular as derivadas de y em relação a t em termos de x.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição . Vamos derivar y em relação a t usando a regra da cadeia.
Sabemos que:
Como , então:
Portanto:

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada de y em relação a t:
Aplicando a regra do produto:
Sabendo que , temos:
Ou seja:

Passo 4

Agora substituímos as derivadas de volta na equação original:
Substituindo e :
Simplificando:
Juntando os termos:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial com coeficientes constantes:
Para resolver essa equação, encontramos a equação característica:
Resolvendo para m, usamos a fórmula de Bhaskara:
Dependendo das raízes, a solução geral será:
  1. Duas raízes reais e distintas:
  2. Raízes reais e iguais:
  3. Raízes complexas:
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 6

Após encontrar a solução geral em termos de x, lembramos que fizemos a substituição . Portanto, substituímos x de volta por para obter a solução em termos de t:
ou, no caso de raízes complexas:

Resposta

A solução geral da equação de Euler dada é:
  • Para duas raízes reais e distintas e :
  • Para raízes reais e iguais m:
  • Para raízes complexas :
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.

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