Use, se possível, o Teste da Comparação para decidir se as séries convergem ou divergem:
.
Passo 1
Então, vamos resolver um exercício de séries matemáticas! A gente precisa usar o Teste da Comparação para descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos comparar essa série com outra que a gente já conhece se comporta bem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Comparação. Esse teste funciona assim: se você tem duas séries positivas e a série que você quer estudar é menor ou igual à outra que já sabemos que converge, então a sua série também converge. Por outro lado, se a sua série for maior ou igual a uma série que sabemos que diverge, então a sua série também diverge.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a nossa série:
. A gente sabe que
cresce muito devagar, mas ainda assim aumenta sem limite conforme
vai para infinito. Então, vamos pensar em uma série conhecida para comparar.
Uma boa candidata é a série harmônica, que é
. A série harmônica é famosa por divergir, ou seja, ela não soma para um número finito.
Passo 4
Vamos comparar os termos das duas séries. Observamos que:
Isso porque
quando
.
Passo 5
Segundo o Teste da Comparação, como cada termo da nossa série
é maior ou igual aos termos da série harmônica
, e sabemos que a série harmônica diverge, podemos concluir que a nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Comparação.