Use, se possível, o Teste da Comparação para decidir se as séries convergem ou divergem: sumn=1^+infty ln (n)n.

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício de séries matemáticas! A gente precisa usar o Teste da Comparação para descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos comparar essa série com outra que a gente já conhece se comporta bem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Comparação. Esse teste funciona assim: se você tem duas séries positivas e a série que você quer estudar é menor ou igual à outra que já sabemos que converge, então a sua série também converge. Por outro lado, se a sua série for maior ou igual a uma série que sabemos que diverge, então a sua série também diverge.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a nossa série: . A gente sabe que cresce muito devagar, mas ainda assim aumenta sem limite conforme vai para infinito. Então, vamos pensar em uma série conhecida para comparar.
Uma boa candidata é a série harmônica, que é . A série harmônica é famosa por divergir, ou seja, ela não soma para um número finito.

Passo 4

Vamos comparar os termos das duas séries. Observamos que:
ln(n)n >= 1n para todo n >= 3
Isso porque quando .

Passo 5

Segundo o Teste da Comparação, como cada termo da nossa série é maior ou igual aos termos da série harmônica , e sabemos que a série harmônica diverge, podemos concluir que a nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Comparação.

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