Determine partial z / partial s e partial z / partial t para a função z=x^2+x y+y^2 onde, x=s+t e y=s t. Espaço destinado à resposta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A função que temos é , onde e . Vamos usar cálculo multivariável, especificamente a regra da cadeia, que ajuda a achar derivadas quando as variáveis estão interligadas dessa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de partial zpartial x = 2x + y em relação a partial zpartial y = x + 2y e . Isso porque depende de e , que por sua vez dependem de e .
Calculando:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de partial xpartial s = 1 e partial xpartial t = 1 e partial ypartial s = t e partial ypartial t = s em relação a e .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia para achar partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s e partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t .
A regra da cadeia diz que:
partial zpartial s = (2x + y) cdot 1 + (x + 2y) cdot t
partial zpartial t = (2x + y) cdot 1 + (x + 2y) cdot s
Substituindo os valores que já calculamos:
Para :
Para :

Passo 5

Vamos substituir partial zpartial s = (2(s + t) + s t) + ((s + t) + 2 s t) cdot t e = 2s + 2t + s t + s t t + 2 s t^2 nas expressões acima para simplificar.
Para partial zpartial s = 2s + 2t + s t + s t^2 + 2 s t^2 :
= 2s + 2t + s t (1 + t + 2 t)
= 2s + 2t + s t (1 + 3 t)
Simplificando:
partial zpartial t = (2(s + t) + s t) + ((s + t) + 2 s t) cdot s
= 2s + 2t + s t + s^2 + 2 s^2 t
partial zpartial t = 2s + 2t + s t + s^2 + 2 s^2 t
Para = 2s + 2t + s t + s^2 (1 + 2 t) :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = 2s + 2t + s t (1 + 3 t)
partial zpartial t = 2s + 2t + s t + s^2 (1 + 2 t)

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