Algumas locadoras de carros possuem uma unidade de GPS instalada, que permite que a empresa verifique onde você está a qualquer momento e, com isso, também saber sua velocidade. Um desses carros de locadora é dirigido por um funcionário no terreno da empresa e, durante o intervalo de tempo de 0 a 10 s , tem um vetor posição como função do tempo de
r(t)=(24,4-12,3 t+2,43 t^2 ; 74,4+1,8 t^2-0,130 t^3)
Qual é a velocidade em t=5 s ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a velocidade de um carro de locadora em um certo instante de tempo. Para isso, vamos trabalhar com vetores posição e derivadas, que são ferramentas da cálculo diferencial. Basicamente, a posição nos diz onde o carro está em cada momento, e a velocidade nos mostra quão rápido ele está se movendo naquele instante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função posição que foi dada:
r(t) = (24,4 - 12,3 t + 2,43 t^2 ; 74,4 + 1,8 t^2 - 0,130 t^3)
Aqui, r(t) é um vetor que nos dá a posição do carro em duas direções (vamos supor que seja no plano 2D) no tempo t. As duas componentes desse vetor representam as posições nas direções x e y.

Passo 3

Para encontrar a velocidade em um determinado tempo, precisamos derivar a posição em relação ao tempo. A derivada da posição nos dá exatamente a velocidade. Então, vamos calcular a derivada de cada componente de r(t).

Passo 4

Vamos derivar a primeira componente da posição:
x(t) = 24,4 - 12,3 t + 2,43 t^2
A derivada de x(t) em relação ao tempo t é:
vx(t) = dxdt = -12,3 + 2 times 2,43 t = -12,3 + 4,86 t

Passo 5

Agora, vamos derivar a segunda componente da posição:
y(t) = 74,4 + 1,8 t^2 - 0,130 t^3
A derivada de y(t) em relação ao tempo t é:
vy(t) = dydt = 0 + 2 times 1,8 t - 3 times 0,130 t^2 = 3,6 t - 0,390 t^2

Passo 6

Agora que temos as expressões para as componentes da velocidade, vamos avaliar essas expressões no tempo t = 5 s.
Primeira componente da velocidade:
vx(5) = -12,3 + 4,86 times 5 = -12,3 + 24,3 = 12,0 , m/s
Segunda componente da velocidade:
vy(5) = 3,6 times 5 - 0,390 times 5^2 = 18 - 0,390 times 25 = 18 - 9,75 = 8,25 , m/s

Resposta

A velocidade do carro em t = 5 s é v(5) = (12,0 ; 8,25) , m/s.

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