Algumas locadoras de carros possuem uma unidade de GPS instalada, que permite que a empresa verifique onde você está a qualquer momento e, com isso, também saber sua velocidade. Um desses carros de locadora é dirigido por um funcionário no terreno da empresa e, durante o intervalo de tempo de 0 a 10 s , tem um vetor posição como função do tempo de
Qual é a velocidade em
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a velocidade de um carro de locadora em um certo instante de tempo. Para isso, vamos trabalhar com vetores posição e derivadas, que são ferramentas da cálculo diferencial. Basicamente, a posição nos diz onde o carro está em cada momento, e a velocidade nos mostra quão rápido ele está se movendo naquele instante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função posição que foi dada:
Aqui,
é um vetor que nos dá a posição do carro em duas direções (vamos supor que seja no plano 2D) no tempo
. As duas componentes desse vetor representam as posições nas direções
e
.
Passo 3
Para encontrar a velocidade em um determinado tempo, precisamos derivar a posição em relação ao tempo. A derivada da posição nos dá exatamente a velocidade. Então, vamos calcular a derivada de cada componente de
.
Passo 4
Vamos derivar a primeira componente da posição:
A derivada de
em relação ao tempo
é:
Passo 5
Agora, vamos derivar a segunda componente da posição:
A derivada de
em relação ao tempo
é:
Passo 6
Agora que temos as expressões para as componentes da velocidade, vamos avaliar essas expressões no tempo
.
Primeira componente da velocidade:
Segunda componente da velocidade:
Resposta
A velocidade do carro em
é
.