Considere o lançamento de um projétil a um ângulo theta, do topo de um plano inclinado a um ângulo phi. Mostre que o alcance máximo atingido pelo projétil no plano é
A=v0^2 sin (2 theta)g cos phi+2 v0^2g sin phicos ^2 phi sin ^2 theta
Mostre ainda que se phi=0 recuperamos o resultado do alcance máximo horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre movimento de projétil lançado de um plano inclinado. Precisamos encontrar a fórmula do alcance máximo que o projétil atinge nesse plano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física de movimentos e trigonometria. Vamos precisar entender como decompor as velocidades iniciais e aplicar as equações do movimento para descobrir até onde o projétil vai.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as velocidades iniciais. Quando lançamos um projétil com uma velocidade inicial $ v_0 $ e um ângulo de lançamento $ \theta $, essa velocidade pode ser decomposta em duas componentes:
  • Componente horizontal (paralela ao plano inclinado): $ v_{0x} = v_0 \cos(\theta) $
  • Componente vertical (perpendicular ao plano inclinado): $ v_{0y} = v_0 \sin(\theta) $

Passo 3

Agora, precisamos considerar o plano inclinado com um ângulo $ \phi $ em relação à horizontal. Para facilitar, vamos ajustar nosso referencial para que o eixo x seja paralelo ao plano inclinado e o eixo y seja perpendicular a ele.
Nesse referencial, a aceleração devido à gravidade $ g $ também precisa ser decomposta:
  • Componente ao longo do plano inclinado (x): $ a_x = -g \sin(\phi) $
  • Componente perpendicular ao plano inclinado (y): $ a_y = -g \cos(\phi) $

Passo 4

O tempo de voo do projétil até ele atingir novamente o plano inclinado pode ser encontrado usando a equação do movimento vertical. Sabemos que no ponto mais baixo (quando o projétil atinge o plano), a posição y será zero.
A equação da posição vertical é:
y = v0y t + 12 ay t^2
Substituindo $ y = 0 $, $ v_{0y} = v_0 \sin(\theta) $, e $ a_y = -g \cos(\phi) $:
y = 0

Passo 5

Resolvendo essa equação para encontrar o tempo de voo $ t $:
t
Uma solução é $ t = 0 $ (no lançamento), e a outra é:
t ( v0 sin(theta) - 12 g cos(phi) t ) = 0

Passo 6

Agora que temos o tempo de voo, podemos calcular o alcance $ A $ ao longo do plano inclinado usando a componente horizontal da velocidade e o tempo de voo:
A
Substituindo $ v_{0x} = v_0 \cos(\theta) $, $ a_x = -g \sin(\phi) $ e $ t = \frac{2 v_0 \sin(\theta)}{g \cos(\phi)} $:
A = v0x t + 12 ax t^2

Passo 7

Simplificando essa expressão:
A = 2 v0^2 sin(theta) cos(theta)g cos(phi) - 2 v0^2 sin^2(theta) sin(phi)g cos^2(phi)
Usando a identidade trigonométrica $ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) $, podemos reescrever:
sin(2theta) = 2 sin(theta) cos(theta)

Passo 8

Pronto! Essa é a expressão para o alcance máximo $ A $ do projétil no plano inclinado.

Passo 9

Agora, vamos verificar o caso especial quando $ \phi = 0 $, ou seja, o plano é horizontal. Substituindo $ \phi = 0 $ na fórmula:
phi = 0
Como $ \cos(0) = 1 $ e $ \sin(0) = 0 $:
phi = 0
A = v0^2 sin(2theta)g cos(0) + 2 v0^2 sin(0) sin^2(theta)g cos^2(0)
Esse é exatamente o resultado conhecido para o alcance máximo de um projétil lançado horizontalmente, confirmando que nossa fórmula está correta.

Resposta

Portanto, o alcance máximo atingido pelo projétil no plano inclinado é
A=v0^2 sin (2 theta)g cos phi+2 v0^2g sin phicos ^2 phi sin ^2 theta
e quando $ \phi = 0 $, recuperamos o resultado do alcance máximo horizontal:
phi = 0

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