Considere o lançamento de um projétil a um ângulo
, do topo de um plano inclinado a um ângulo
. Mostre que o alcance máximo atingido pelo projétil no plano é
Mostre ainda que se
recuperamos o resultado do alcance máximo horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre movimento de projétil lançado de um plano inclinado. Precisamos encontrar a fórmula do alcance máximo que o projétil atinge nesse plano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física de movimentos e trigonometria. Vamos precisar entender como decompor as velocidades iniciais e aplicar as equações do movimento para descobrir até onde o projétil vai.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as velocidades iniciais. Quando lançamos um projétil com uma velocidade inicial $ v_0 $ e um ângulo de lançamento $ \theta $, essa velocidade pode ser decomposta em duas componentes:
- Componente horizontal (paralela ao plano inclinado): $ v_{0x} = v_0 \cos(\theta) $
- Componente vertical (perpendicular ao plano inclinado): $ v_{0y} = v_0 \sin(\theta) $
Passo 3
Agora, precisamos considerar o plano inclinado com um ângulo $ \phi $ em relação à horizontal. Para facilitar, vamos ajustar nosso referencial para que o eixo x seja paralelo ao plano inclinado e o eixo y seja perpendicular a ele.
Nesse referencial, a aceleração devido à gravidade $ g $ também precisa ser decomposta:
- Componente ao longo do plano inclinado (x): $ a_x = -g \sin(\phi) $
- Componente perpendicular ao plano inclinado (y): $ a_y = -g \cos(\phi) $
Passo 4
O tempo de voo do projétil até ele atingir novamente o plano inclinado pode ser encontrado usando a equação do movimento vertical. Sabemos que no ponto mais baixo (quando o projétil atinge o plano), a posição y será zero.
A equação da posição vertical é:
Substituindo $ y = 0 $, $ v_{0y} = v_0 \sin(\theta) $, e $ a_y = -g \cos(\phi) $:
Passo 5
Resolvendo essa equação para encontrar o tempo de voo $ t $:
Uma solução é $ t = 0 $ (no lançamento), e a outra é:
Passo 6
Agora que temos o tempo de voo, podemos calcular o alcance $ A $ ao longo do plano inclinado usando a componente horizontal da velocidade e o tempo de voo:
Substituindo $ v_{0x} = v_0 \cos(\theta) $, $ a_x = -g \sin(\phi) $ e $ t = \frac{2 v_0 \sin(\theta)}{g \cos(\phi)} $:
Passo 7
Simplificando essa expressão:
Usando a identidade trigonométrica $ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) $, podemos reescrever:
Passo 8
Pronto! Essa é a expressão para o alcance máximo $ A $ do projétil no plano inclinado.
Passo 9
Agora, vamos verificar o caso especial quando $ \phi = 0 $, ou seja, o plano é horizontal. Substituindo $ \phi = 0 $ na fórmula:
Como $ \cos(0) = 1 $ e $ \sin(0) = 0 $:
Esse é exatamente o resultado conhecido para o alcance máximo de um projétil lançado horizontalmente, confirmando que nossa fórmula está correta.
Resposta
Portanto, o alcance máximo atingido pelo projétil no plano inclinado é
e quando $ \phi = 0 $, recuperamos o resultado do alcance máximo horizontal: