Algumas locadoras de carros possuem uma unidade de GPS instalada, que permite que a empresa verifique onde você está a qualquer momento e, com isso, também saber sua velocidade. Um desses carros de locadora é dirigido por um funcionário no terreno da empresa e, durante o intervalo de tempo de 0 a 10 s , tem um vetor posição como função do tempo de
r(t)=(24,4-12,3 t+2,43 t^2 ; 74,4+1,8 t^2-0,130 t^3)
Qual é a distância desse carro da origem do sistema de coordenadas em t=5 s?

Passo 1

Vamos lá! A questão nos apresenta o vetor posição de um carro em função do tempo, ou seja, nos mostra onde o carro está em cada instante de tempo entre 0 e 10 segundos. O conteúdo envolvido aqui é o conceito de vetor posição e distância no espaço bidimensional. Para resolver, precisamos saber como calcular a distância de um ponto até a origem usando as coordenadas desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do vetor posição r(t). Ele está dado por:
r(t) = (24,4 - 12,3 , t + 2,43 , t^2 ; 74,4 + 1,8 , t^2 - 0,130 , t^3)
Aqui, o vetor tem duas componentes: a primeira componente (eixo x) é 24,4 - 12,3 , t + 2,43 , t^2 e a segunda componente (eixo y) é 74,4 + 1,8 , t^2 - 0,130 , t^3.

Passo 3

Queremos descobrir a distância do carro à origem no instante t = 5 segundos. A distância de um ponto à origem em um plano cartesiano é dada pela fórmula da distância euclidiana:
d = raiz(x)^2 + (y)^2
Onde x e y são as coordenadas do ponto.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular as coordenadas x e y no tempo t = 5 segundos substituindo 5 na expressão de r(t):
Para a componente x:
x = 24,4 - 12,3 times 5 + 2,43 times (5)^2
Calculando cada termo:
-12,3 times 5 = -61,5
2,43 times 25 = 60,75
Então:
x = 24,4 - 61,5 + 60,75 = 23,65
Para a componente y:
y = 74,4 + 1,8 times (5)^2 - 0,130 times (5)^3
Calculando cada termo:
1,8 times 25 = 45
0,130 times 125 = 16,25
Então:
y = 74,4 + 45 - 16,25 = 103,15

Passo 5

Agora que temos as coordenadas x = 23,65 e y = 103,15 no tempo t = 5 s, vamos usar a fórmula da distância:
d = raiz(23,65)^2 + (103,15)^2
Calculando os quadrados:
(23,65)^2 approx 559,22
(103,15)^2 approx 10644,92
Somando:
559,22 + 10644,92 = 11204,14
Então:
d = raiz11204,14 approx 105,88 unidades

Resposta

A distância do carro à origem em t = 5 segundos é aproximadamente 105,88 unidades.

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