Algumas locadoras de carros possuem uma unidade de GPS instalada, que permite que a empresa verifique onde você está a qualquer momento e, com isso, também saber sua velocidade. Um desses carros de locadora é dirigido por um funcionário no terreno da empresa e, durante o intervalo de tempo de 0 a 10 s , tem um vetor posição como função do tempo de
Qual é a distância desse carro da origem do sistema de coordenadas em
s?
Passo 1
Vamos lá! A questão nos apresenta o vetor posição de um carro em função do tempo, ou seja, nos mostra onde o carro está em cada instante de tempo entre 0 e 10 segundos. O conteúdo envolvido aqui é o conceito de vetor posição e distância no espaço bidimensional. Para resolver, precisamos saber como calcular a distância de um ponto até a origem usando as coordenadas desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do vetor posição
. Ele está dado por:
Aqui, o vetor tem duas componentes: a primeira componente (eixo
) é
e a segunda componente (eixo
) é
.
Passo 3
Queremos descobrir a distância do carro à origem no instante
segundos. A distância de um ponto à origem em um plano cartesiano é dada pela fórmula da distância euclidiana:
Onde
e
são as coordenadas do ponto.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular as coordenadas
e
no tempo
segundos substituindo 5 na expressão de
:
Para a componente
:
Calculando cada termo:
Então:
Para a componente
:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 5
Agora que temos as coordenadas
e
no tempo
s, vamos usar a fórmula da distância:
Calculando os quadrados:
Somando:
Então:
Resposta
A distância do carro à origem em
segundos é aproximadamente
unidades.