Um objeto parte do repouso e tem aceleração dada por a(t)=B t^2-12 C t, onde B=2,0 m / s^4 e C=-4 m / s^3. Até que distância o objeto se moveu após t=5,0 s ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um objeto que parte do repouso e tem uma aceleração que varia com o tempo. A gente precisa descobrir até que distância esse objeto se moveu após 5 segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente integrações para achar a velocidade e a posição a partir da aceleração que foi dada.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a aceleração fornecida:
a(t) = B t^2 - 12 C t
Onde os valores de B e C são:
B = 2,0 m/s^4 C = -4 m/s^3
Substituindo esses valores na expressão da aceleração:
a(t) = 2,0 t^2 - 12 (-4) t a(t) = 2 t^2 + 2 t

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade v(t), precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. Sabemos que a velocidade inicial v(0) é 0, já que o objeto parte do repouso.
Então,
v(t) = integral a(t) , dt = integral (2 t^2 + 2 t) , dt
Integrando termo a termo:
v(t) = 23 t^3 + t^2 + C1
Como v(0) = 0:
0 = 23 (0)^3 + (0)^2 + C1 C1 = 0
Portanto, a expressão da velocidade é:
v(t) = 23 t^3 + t^2

Passo 4

Agora, para encontrar a posição s(t), vamos integrar a velocidade em relação ao tempo. Sabemos que a posição inicial s(0) é 0.
Então,
s(t) = integral v(t) , dt = integral ( 23 t^3 + t^2 ) , dt
Integrando termo a termo:
s(t) = 212 t^4 + 13 t^3 + C2 s(t) = 16 t^4 + 13 t^3 + C2
Como s(0) = 0:
0 = 16 (0)^4 + 13 (0)^3 + C2 C2 = 0
Portanto, a expressão da posição é:
s(t) = 16 t^4 + 13 t^3

Resposta

Substituindo t = 5,0 s na expressão da posição:
s(5) = 16 (5)^4 + 13 (5)^3 s(5) = 16 times 625 + 13 times 125 s(5) = 104,1667 + 41,6667 s(5) = 145,8334 m
Então, o objeto se moveu aproximadamente 145,83 metros após 5 segundos.

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