A posição de um objeto em função do tempo é dada por
. Onde
,
e
. Em que instante o objeto está em repouso?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a posição de um objeto em função do tempo, dada pela equação $ x(t) = At^{3} + Bt^{2} + Ct + D $. Os valores dos coeficientes são:
- $ A = 2,1, \mathrm{m/s^{3}} $
- $ B = 1,0, \mathrm{m/s^{2}} $
- $ C = -4,1, \mathrm{m/s} $
- $ D = 3, \mathrm{m} $
Queremos descobrir em que instante o objeto está em repouso. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada, que relaciona a posição com a velocidade.
Passo 2
A velocidade do objeto é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos calcular $ v(t) = \frac{dx}{dt} $.
Passo 3
Agora, substituímos os valores dos coeficientes na expressão da velocidade:
Passo 4
Para encontrar o instante em que o objeto está em repouso, devemos igualar a velocidade a zero e resolver a equação resultante:
Passo 5
Essa é uma equação quadrática da forma $ at^{2} + bt + c = 0 $. Podemos resolver usando a Fórmula de Bhaskara:
Onde:
- $ a = 6,3 $
- $ b = 2,0 $
- $ c = -4,1 $
Passo 6
Calculamos o discriminante ($ \Delta $):
Passo 7
Agora, aplicamos a Fórmula de Bhaskara para encontrar $ t $:
Passo 8
Calculamos os dois possíveis valores para $ t $:
-
Sinal positivo (+):
-
Sinal negativo (-):
Como o tempo não pode ser negativo nesse contexto, descartamos $ t \approx -0,980, \mathrm{s} $.
Resposta
O objeto está em repouso no instante $ t \approx 0,664, \mathrm{s} $.