A posição de um objeto em função do tempo é dada por x(t)=A t^3+B t^2+C t+D. Onde A=2,1 m / s^3, B=1,0 m / s^2, C=-4,1 m / s e D=3 m. Em que instante o objeto está em repouso?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a posição de um objeto em função do tempo, dada pela equação $ x(t) = At^{3} + Bt^{2} + Ct + D $. Os valores dos coeficientes são:
  • $ A = 2,1, \mathrm{m/s^{3}} $
  • $ B = 1,0, \mathrm{m/s^{2}} $
  • $ C = -4,1, \mathrm{m/s} $
  • $ D = 3, \mathrm{m} $
Queremos descobrir em que instante o objeto está em repouso. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada, que relaciona a posição com a velocidade.

Passo 2

A velocidade do objeto é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos calcular $ v(t) = \frac{dx}{dt} $.
v(t) = dxdt

Passo 3

Agora, substituímos os valores dos coeficientes na expressão da velocidade:
v(t) = 3 times 2,1, t^2 + 2 times 1,0, t + (-4,1)
v(t) = 6,3, t^2 + 2,0, t - 4,1

Passo 4

Para encontrar o instante em que o objeto está em repouso, devemos igualar a velocidade a zero e resolver a equação resultante:
6,3, t^2 + 2,0, t - 4,1 = 0

Passo 5

Essa é uma equação quadrática da forma $ at^{2} + bt + c = 0 $. Podemos resolver usando a Fórmula de Bhaskara:
at^2 + bt + c = 0
Onde:
  • $ a = 6,3 $
  • $ b = 2,0 $
  • $ c = -4,1 $

Passo 6

Calculamos o discriminante ($ \Delta $):
De
De

Passo 7

Agora, aplicamos a Fórmula de Bhaskara para encontrar $ t $:
t
t = -2,0 pm raiz107,322 times 6,3

Passo 8

Calculamos os dois possíveis valores para $ t $:
  1. Sinal positivo (+):
    t
  2. Sinal negativo (-):
    t = 8,3612,6 approx 0,664, s
Como o tempo não pode ser negativo nesse contexto, descartamos $ t \approx -0,980, \mathrm{s} $.

Resposta

O objeto está em repouso no instante $ t \approx 0,664, \mathrm{s} $.

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